Страница 148 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Найдите корни квадратного трёхчлена $5x^2 + 18x - 8$.

1) -4; 0,4

2) -0,4; 4

3) -2; 0,2

4) -0,2; 2

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$5x^2 + 18x - 8 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 5$, $b = 18$, $c = -8$.

Для решения найдём дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 324 - (-160) = 324 + 160 = 484$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$.

Теперь вычислим каждый корень:

Первый корень:

$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{-40}{10} = -4$

Второй корень:

$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = 0,4$

Таким образом, корнями квадратного трёхчлена являются числа $-4$ и $0,4$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: -4; 0,4

2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получили: $x^2 + 14x + 48 = (x + 6)(x - a)$. Найдите значение $a$.

1) 8

2) -8

3) 16

4) -16

В задании дано тождество: $x^2 + 14x + 48 = (x + 6)(x - a)$.

Чтобы найти неизвестное значение a, можно пойти двумя путями: разложить левую часть на множители или раскрыть скобки в правой части. Рассмотрим второй, более прямой способ.

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(x + 6)(x - a) = x \cdot x + x \cdot (-a) + 6 \cdot x + 6 \cdot (-a) = x^2 - ax + 6x - 6a$

Сгруппируем слагаемые с переменной x:

$x^2 + (6 - a)x - 6a$

Теперь приравняем полученное выражение к исходному квадратному трехчлену:

$x^2 + 14x + 48 = x^2 + (6 - a)x - 6a$

Поскольку это тождество, многочлены в левой и правой частях равны при любом значении x. Это возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x равны.

Приравняем коэффициенты при x в первой степени:

$14 = 6 - a$

Решим полученное уравнение:

$a = 6 - 14$

$a = -8$

Для проверки можно также приравнять свободные члены (слагаемые без x):

$48 = -6a$

Отсюда также находим a:

$a = \frac{48}{-6}$

$a = -8$

Результаты совпадают, следовательно, значение a найдено верно.

Ответ: $-8$

3. Укажите верное равенство.

1) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)\left(x - \frac{5}{6}\right)$

2) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)\left(x + \frac{5}{6}\right)$

3) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(6x - 5)$

4) $6x^2 - x - 5 = (x - 1)(6x + 5)$

Чтобы найти верное равенство, разложим на множители квадратный трехчлен $6x^2 - x - 5$. Для этого можно найти его корни и использовать формулу разложения, либо проверить каждый из предложенных вариантов, раскрыв скобки.

Метод 1: Разложение трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Решим уравнение $6x^2 - x - 5 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 11}{12} = \frac{12}{12} = 1$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 11}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$.

2. Подставим корни в формулу разложения:

$6x^2 - x - 5 = 6(x - 1)(x - (-\frac{5}{6})) = 6(x - 1)(x + \frac{5}{6})$.

3. Преобразуем полученное выражение, внеся множитель 6 во вторую скобку:

$6(x - 1)(x + \frac{5}{6}) = (x - 1) \cdot (6 \cdot x + 6 \cdot \frac{5}{6}) = (x - 1)(6x + 5)$.

Таким образом, верное равенство представлено в пункте 4.

Метод 2: Проверка каждого равенства раскрытием скобок

1) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(x - \frac{5}{6})$

Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(x - \frac{5}{6}) = x^2 - \frac{5}{6}x + x - \frac{5}{6} = x^2 + \frac{1}{6}x - \frac{5}{6}$. Выражение не совпадает с исходным.

Ответ: неверно.

2) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(x + \frac{5}{6})$

Раскроем скобки: $(x + 1)(x + \frac{5}{6}) = x^2 + \frac{5}{6}x + x + \frac{5}{6} = x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{5}{6}$. Выражение не совпадает с исходным.

Ответ: неверно.

3) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(6x - 5)$

Раскроем скобки: $(x + 1)(6x - 5) = 6x^2 - 5x + 6x - 5 = 6x^2 + x - 5$. Выражение не совпадает с исходным (ошибка в знаке при $x$).

Ответ: неверно.

4) $6x^2 - x - 5 = (x - 1)(6x + 5)$

Раскроем скобки: $(x - 1)(6x + 5) = 6x^2 + 5x - 6x - 5 = 6x^2 - x - 5$. Выражение полностью совпадает с исходным.

Ответ: верно.

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$. Укажите этот рисунок.

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$, необходимо проанализировать и упростить данную функцию.

1. Найдем область определения функции.

Функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Это означает, что график функции имеет разрыв в точке с абсциссой $x = 2$. На графике это будет выглядеть как "выколотая" точка.

2. Упростим выражение для функции.

Разложим числитель $10 - 3x - x^2$ на множители. Сначала вынесем знак минус за скобки: $-(x^2 + 3x - 10)$.

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 10$ приравняв его к нулю: $x^2 + 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -3$

$x_1 \cdot x_2 = -10$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -5$.

Тогда $x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x - (-5)) = (x - 2)(x + 5)$.

Следовательно, числитель исходной функции равен $-(x - 2)(x + 5)$.

Подставим разложенный числитель обратно в функцию:

$y = \frac{-(x - 2)(x + 5)}{x - 2}$

3. Сократим дробь с учетом области определения.

Поскольку $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = -(x + 5)$

$y = -x - 5$

Таким образом, график исходной функции является прямой линией $y = -x - 5$ с выколотой точкой при $x = 2$.

4. Проанализируем полученную линейную функцию и сравним с графиками.

График функции $y = -x - 5$ — это прямая. Угловой коэффициент $k = -1$ (отрицательный), значит, функция является убывающей. Этому условию соответствуют графики под номерами 1 и 3.

Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x = 2$ в уравнение упрощенной функции:

$y = -2 - 5 = -7$

Значит, на графике должна быть выколотая точка с координатами $(2, -7)$.

Сравним графики 1 и 3:

• На рисунке 1 изображена сплошная прямая, без выколотых точек.
• На рисунке 3 изображена убывающая прямая, которая проходит через точки $(0, -5)$ и $(-5, 0)$, и имеет выколотую точку с координатами $(2, -7)$.

Следовательно, график на рисунке 3 полностью соответствует функции $y = \frac{10 - 3x - x^2}{x - 2}$.

Ответ: 3