Страница 143 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен второй коэффициент уравнения

$-10x - 3x^2 + 5 = 0?$

1) -3 2) 3 3) -10 4) 10

Чтобы определить коэффициенты уравнения, его необходимо сначала записать в стандартном виде. Стандартный вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ – первый (старший) коэффициент, $b$ – второй коэффициент, а $c$ – свободный член.

Исходное уравнение: $-10x - 3x^2 + 5 = 0$.

Приведем его к стандартному виду, расположив члены уравнения в порядке убывания степеней переменной $x$:

$-3x^2 - 10x + 5 = 0$

Теперь мы можем определить коэффициенты:

• Первый коэффициент $a$ (множитель при $x^2$) равен $-3$.
• Второй коэффициент $b$ (множитель при $x$) равен $-10$.
• Свободный член $c$ равен $5$.

Вопрос требует найти второй коэффициент, который равен $-10$.

Ответ: -10.

2. При каком значении $b$ корнем уравнения $3x^2 + bx - 24 = 0$ является число $-4$?

1) $-18$ 2) $18$ 3) $-6$ 4) $6$

По условию задачи, число –4 является корнем уравнения $3x^2 + bx - 24 = 0$. Это означает, что при подстановке значения $x = -4$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство.

Подставим $x = -4$ в уравнение:

$3 \cdot (-4)^2 + b \cdot (-4) - 24 = 0$

Теперь выполним вычисления и решим полученное уравнение относительно переменной $b$.

$3 \cdot 16 - 4b - 24 = 0$

$48 - 4b - 24 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$24 - 4b = 0$

Перенесем слагаемое с $b$ в правую часть уравнения:

$24 = 4b$

Найдем $b$, разделив обе части уравнения на 4:

$b = \frac{24}{4}$

$b = 6$

Следовательно, при $b = 6$ число –4 является корнем данного уравнения. Среди предложенных вариантов это ответ под номером 4.

Ответ: 6

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных иррациональных числа.

1) $x^2 - x\sqrt{3} = 0$

2) $x^2 - 3x = 0$

3) $x^2 - 3 = 0$

4) $x^2 + 3x = 0$

Заданное условие требует, чтобы у уравнения было два корня, которые являются противоположными иррациональными числами.
Пусть корни уравнения — $x_1$ и $x_2$.
- "Противоположные числа" означает, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.
- "Иррациональные числа" означает, что они не могут быть представлены в виде простой дроби (например, $\sqrt{2}$ или $\sqrt{3}$).

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ по теореме Виета сумма корней равна $x_1 + x_2 = -b/a$. Чтобы сумма корней была равна нулю, необходимо, чтобы коэффициент $b$ был равен нулю. Таким образом, уравнение должно иметь вид $ax^2 + c = 0$.

Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 - x\sqrt{3} = 0$
В этом уравнении коэффициент $b = -\sqrt{3} \neq 0$, поэтому его корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x - \sqrt{3}) = 0$, получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt{3}$.

2) $x^2 - 3x = 0$
Здесь коэффициент $b = -3 \neq 0$, значит, корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x - 3) = 0$, получаем рациональные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3) $x^2 - 3 = 0$
В этом уравнении коэффициент $b = 0$, что соответствует условию о противоположных корнях. Решим его:
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$
Корни уравнения $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$. Эти корни являются противоположными ($\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$) и иррациональными (так как 3 не является точным квадратом). Этот вариант удовлетворяет всем условиям.

4) $x^2 + 3x = 0$
Здесь коэффициент $b = 3 \neq 0$, поэтому корни не являются противоположными. Решив уравнение $x(x + 3) = 0$, получаем рациональные корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Ответ: 3

4. Дискриминант какого из данных уравнений равен 81?

1) $2x^2 - 4x - 7 = 0$

2) $7x^2 - 2x - 2 = 0$

3) $2x^2 - 7x + 4 = 0$

4) $2x^2 - 7x - 4 = 0$

Чтобы определить, у какого из данных уравнений дискриминант равен 81, необходимо последовательно вычислить дискриминант для каждого уравнения. Формула для вычисления дискриминанта (D) квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ следующая: $D = b^2 - 4ac$.

1) $2x^2 - 4x - 7 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -4$, $c = -7$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 16 - (-56) = 16 + 56 = 72$.
Дискриминант не равен 81.

2) $7x^2 - 2x - 2 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 7$, $b = -2$, $c = -2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 4 - (-56) = 4 + 56 = 60$.
Дискриминант не равен 81.

3) $2x^2 - 7x + 4 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 - 32 = 17$.
Дискриминант не равен 81.

4) $2x^2 - 7x - 4 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a = 2$, $b = -7$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 - (-32) = 49 + 32 = 81$.
Дискриминант этого уравнения равен 81, что соответствует условию задачи.

Ответ: 4.

5. Чему равна сумма корней уравнения $6x^2 - 3x + 1 = 0$?

1) 1

2) $\frac{1}{6}$

3) 3

4) 0,5

Для нахождения суммы корней квадратного уравнения $6x^2 - 3x + 1 = 0$ можно воспользоваться теоремой Виета.

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае коэффициенты равны: $a = 6$, $b = -3$, $c = 1$.

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1 + x_2$) квадратного уравнения определяется по формуле: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}$

Прежде чем использовать формулу, целесообразно проверить, имеет ли уравнение действительные корни. Для этого вычислим дискриминант ($D$): $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 9 - 24 = -15$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Однако, теорема Виета справедлива и для комплексных корней, поэтому мы можем найти их сумму.

Подставим значения коэффициентов $a$ и $b$ в формулу суммы корней: $x_1 + x_2 = - \frac{-3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Преобразуем полученную дробь в десятичное число: $\frac{1}{2} = 0,5$.

Среди предложенных вариантов ответа, это значение соответствует номеру 4).

Ответ: 0,5

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

А) $x^2 - 3x + 4 = 0$

Б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

В) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Множество корней

1) $\emptyset$

2) $\{1, 4\}$

3) $\{-1, 4\}$

4) $\{1, -4\}$

5) $\{-1, -4\}$

Для установления соответствия необходимо решить каждое уравнение из левого столбца и найти множество его корней.

А) $x^2 - 3x + 4 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения найдем его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=-3$, $c=4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней — пустое множество, которое обозначается как $\emptyset$.
Это соответствует варианту 1) в правом столбце.

Ответ: 1.

Б) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Найдем дискриминант для этого уравнения, где $a=1$, $b=-3$, $c=-4$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Множество корней уравнения — $\{-1, 4\}$.
Это соответствует варианту 3) в правом столбце.

Ответ: 3.

В) $x^2 - 5x + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Согласно теореме, для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$.
В данном случае $p=-5$ и $q=4$.
$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 4$
Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$, так как их сумма $1+4=5$ и произведение $1 \cdot 4=4$.
Множество корней уравнения — $\{1, 4\}$.
Это соответствует варианту 2) в правом столбце.

Ответ: 2.

7. При каком значении $m$ уравнение $3x^2 - 6x + 2m = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $3x^2 - 6x + 2m = 0$ является квадратным. Квадратное уравнение имеет единственный корень (или, что то же самое, два совпадающих корня) тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю.

Формула дискриминанта для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ следующая: $D = b^2 - 4ac$. В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -6$, $c = 2m$.

Подставим эти значения в формулу и вычислим дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m)$
$D = 36 - 24m$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $m$:
$36 - 24m = 0$

Решим полученное линейное уравнение:
$24m = 36$
$m = \frac{36}{24}$
$m = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5