Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Решите уравнение

$(4x - 3)^2 = 11 - 17x + x^2$

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

$ (4x - 3)^2 = 11 - 17x + x^2 $

$ (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 11 - 17x + x^2 $

$ 16x^2 - 24x + 9 = 11 - 17x + x^2 $

Теперь перенесем все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ ax^2 + bx + c = 0 $.

$ 16x^2 - 24x + 9 - 11 + 17x - x^2 = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (16x^2 - x^2) + (-24x + 17x) + (9 - 11) = 0 $

$ 15x^2 - 7x - 2 = 0 $

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Формула дискриминанта: $ D = b^2 - 4ac $.

В нашем случае коэффициенты равны: $ a = 15 $, $ b = -7 $, $ c = -2 $.

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 49 + 120 = 169 $

Поскольку дискриминант $ D = 169 > 0 $, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $.

$ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 $

Найдем первый корень:

$ x_1 = \frac{-(-7) + 13}{2 \cdot 15} = \frac{7 + 13}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} $

Найдем второй корень:

$ x_2 = \frac{-(-7) - 13}{2 \cdot 15} = \frac{7 - 13}{30} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5} $

Ответ: $ -\frac{1}{5}; \frac{2}{3} $.

9. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 182. Найдите сумму этих чисел.

Пусть первое натуральное число будет $n$. Тогда следующее за ним последовательное натуральное число будет $n+1$.

Согласно условию задачи, произведение этих двух чисел равно 182. Составим уравнение:

$n \cdot (n+1) = 182$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения:

$n^2 + n = 182$

$n^2 + n - 182 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-182$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729$

Найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 27}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 27}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку в задаче речь идет о натуральных числах, а натуральные числа являются положительными, нам подходит только корень $n_1 = 13$.

Таким образом, первое число равно 13. Второе последовательное число равно $n+1 = 13+1 = 14$.

Проверим произведение: $13 \cdot 14 = 182$. Условие выполняется.

Теперь найдем сумму этих чисел:

$13 + 14 = 27$

Ответ: 27

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{20}$.

Для составления квадратного уравнения, зная его корни $x_1$ и $x_2$, можно использовать теорему Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае даны корни:

$x_1 = \sqrt{5}$

$x_2 = -\sqrt{20}$

Прежде всего, упростим второй корень:

$x_2 = -\sqrt{20} = -\sqrt{4 \cdot 5} = -\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

Теперь найдем сумму корней, чтобы определить коэффициент $p$:

$x_1 + x_2 = \sqrt{5} + (-2\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} = -\sqrt{5}$

Из соотношения $x_1 + x_2 = -p$ следует, что $-p = -\sqrt{5}$, а значит $p = \sqrt{5}$.

Далее найдем произведение корней, чтобы определить коэффициент $q$:

$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) = -2 \cdot (\sqrt{5})^2 = -2 \cdot 5 = -10$

Из соотношения $x_1 \cdot x_2 = q$ следует, что $q = -10$.

Теперь подставим найденные значения $p$ и $q$ в формулу приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + \sqrt{5}x - 10 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение.

Ответ: $x^2 + \sqrt{5}x - 10 = 0$

11. При каких значениях переменной не имеет смысл выражение $ \frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4x + 3} $?

Данное алгебраическое выражение представляет собой сумму двух дробей. Выражение не имеет смысла в том случае, когда знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Чтобы найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла, необходимо приравнять к нулю каждый из знаменателей и решить полученные уравнения.

1. Приравняем к нулю знаменатель первой дроби:
$x^2 - 1 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения $x$:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

2. Приравняем к нулю знаменатель второй дроби:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Его можно решить с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, то есть 4, а произведение корней равно свободному члену, то есть 3. Подбираем корни:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 3. Таким образом, $x = 1$ и $x = 3$.

Объединяем все найденные значения переменной, при которых хотя бы один из знаменателей обращается в ноль. Это значения -1, 1 и 3.
Ответ: $-1, 1, 3$.

12. Решите уравнение $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0$.

Исходное уравнение: $x^2 - 4(\sqrt{x})^2 - 21 = 0$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении присутствует выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$.

Теперь упростим уравнение. По определению квадратного корня, для любого $x \ge 0$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - 4x - 21 = 0$.

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.

Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-4$, $c=-21$.

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge 0$, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 \ge 0$, следовательно, он является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 7.