Страница 139 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен второй коэффициент уравнения

$9 + x^2 - 12x = 0$?

1) 1

2) -12

3) 12

4) -1

Чтобы определить коэффициенты квадратного уравнения, его необходимо представить в стандартном виде: $ax^2 + bx + c = 0$. В этом представлении:
• $a$ — это первый, или старший, коэффициент (множитель при $x^2$).
• $b$ — это второй коэффициент (множитель при $x$).
• $c$ — это свободный член (константа).

Рассмотрим исходное уравнение: $9 + x^2 - 12x = 0$.

Приведем его к стандартному виду, для этого расположим слагаемые в порядке убывания степени переменной $x$:

$x^2 - 12x + 9 = 0$

Теперь, сравнивая полученное уравнение $1 \cdot x^2 + (-12) \cdot x + 9 = 0$ со стандартной формой $ax^2 + bx + c = 0$, мы можем определить значения коэффициентов:
• Первый коэффициент $a = 1$.
• Второй коэффициент $b = -12$.
• Свободный член $c = 9$.

Следовательно, второй коэффициент данного уравнения равен -12.

Ответ: -12

2. При каком значении $b$ корнем уравнения $2x^2 + bx - 6 = 0$ является число $-3$?

1) -4

2) 4

3) -8

4) 8

По определению, корень уравнения — это значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

В данном случае нам дано уравнение $2x^2 + bx - 6 = 0$ и его корень $x = -3$. Чтобы найти значение параметра $b$, нужно подставить значение корня в уравнение.

Подставим $x = -3$ в уравнение:

$2 \cdot (-3)^2 + b \cdot (-3) - 6 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Сначала выполним возведение в степень и умножение:

$2 \cdot 9 - 3b - 6 = 0$

$18 - 3b - 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые (вычтем 6 из 18):

$12 - 3b = 0$

Перенесем слагаемое без $b$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$-3b = -12$

Разделим обе части уравнения на $-3$, чтобы найти $b$:

$b = \frac{-12}{-3}$

$b = 4$

Следовательно, при $b=4$ число $-3$ является корнем уравнения. Этот ответ соответствует варианту 2).

Ответ: 4

3. Укажите уравнение, не имеющее корней.

1) $x^2 + 25x = 0$

2) $x^2 - 25x = 0$

3) $x^2 + 25 = 0$

4) $x^2 - 25 = 0$

Чтобы определить, какое уравнение не имеет корней, необходимо проанализировать каждое из них.

1) $x^2 + 25x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 25) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x + 25 = 0 \Rightarrow x_2 = -25$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $0; -25$.

2) $x^2 - 25x = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 25) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $x - 25 = 0 \Rightarrow x_2 = 25$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $0; 25$.

3) $x^2 + 25 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = -25$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. С другой стороны, правая часть уравнения - отрицательное число ($-25$). Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $x^2 - 25 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 25$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x = \pm\sqrt{25}$

Корнями уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-5; 5$.

Таким образом, единственное уравнение из предложенных, которое не имеет корней, это $x^2 + 25 = 0$, что соответствует варианту 3.

4. Дискриминант какого из данных уравнений равен 49?

1) $3x^2 - 2x + 5 = 0$

2) $3x^2 - 2x - 5 = 0$

3) $2x^2 - 3x + 5 = 0$

4) $2x^2 - 3x - 5 = 0$

Чтобы найти уравнение, дискриминант которого равен 49, нужно вычислить дискриминант для каждого из предложенных вариантов. Дискриминант квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

Для данного уравнения коэффициенты следующие: $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56$.

Полученный дискриминант не равен 49.

Для данного уравнения коэффициенты следующие: $a = 3$, $b = -2$, $c = -5$.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Полученный дискриминант не равен 49.

Для данного уравнения коэффициенты следующие: $a = 2$, $b = -3$, $c = 5$.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31$.

Полученный дискриминант не равен 49.

Для данного уравнения коэффициенты следующие: $a = 2$, $b = -3$, $c = -5$.

Подставим значения в формулу дискриминанта:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Дискриминант этого уравнения равен 49, что соответствует условию задачи.

Ответ: 4

5. Чему равна сумма корней уравнения

$2x^2 + 5x - 8 = 0$?

1) -5

2) 5

3) -2,5

4) 2,5

Для нахождения суммы корней квадратного уравнения $2x^2 + 5x - 8 = 0$ воспользуемся теоремой Виета.

Данное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 2$

$b = 5$

$c = -8$

Прежде всего, необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 25 + 64 = 89$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем найти их сумму.

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1$ и $x_2$) квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим значения коэффициентов $a$ и $b$ в эту формулу:

$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2} = -2,5$

Следовательно, сумма корней уравнения равна -2,5, что соответствует варианту ответа 3).

Ответ: -2,5

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

А) $x^2 + x + 6 = 0$

Б) $x^2 + x - 6 = 0$

В) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Множество корней

1) $\{2, 3\}$

2) $\{2, -3\}$

3) $\{-3, -2\}$

4) $\{-2, 3\}$

5) $\emptyset$

Для того чтобы установить соответствие, необходимо решить каждое уравнение из левого столбца и найти множество его корней.

А) $x^2 + x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=1$, $c=6$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней — пустое множество ($\varnothing$).

Это соответствует варианту 5).

Ответ: 5

Б) $x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=1$, $c=-6$. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Множество корней уравнения: $\{2, -3\}$.

Это соответствует варианту 2).

Ответ: 2

В) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение, где $a=1$, $b=5$, $c=6$. Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$.
В нашем случае: $x_1 + x_2 = -5$ и $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Проверим: $(-2) + (-3) = -5$ и $(-2) \cdot (-3) = 6$. Корни найдены верно.
Множество корней уравнения: $\{-3, -2\}$.

Это соответствует варианту 3).

Ответ: 3

7. При каком значении $m$ уравнение $4x^2 - 3x + 3m = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $4x^2 - 3x + 3m = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, с коэффициентами:

• $a = 4$
• $b = -3$
• $c = 3m$

Квадратное уравнение имеет единственный корень (или два совпадающих корня) в том случае, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Формула для вычисления дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

Подставим коэффициенты нашего уравнения в эту формулу:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (3m)$

Выполним вычисления:

$D = 9 - 16 \cdot 3m$

$D = 9 - 48m$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти значение $m$, при котором уравнение имеет единственный корень:

$9 - 48m = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$48m = 9$

$m = \frac{9}{48}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$m = \frac{9 \div 3}{48 \div 3} = \frac{3}{16}$

Таким образом, при $m = \frac{3}{16}$ уравнение $4x^2 - 3x + 3m = 0$ имеет единственный корень.

Ответ: $m = \frac{3}{16}$.