Страница 136 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и их значениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2}$

Б) $(\sqrt{32} - \sqrt{2})(\sqrt{32} + \sqrt{2})$

В) $\sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{32})^2} + \sqrt{2}$

Значение выражения

1) 8

2) $4\sqrt{2}$

3) $-2\sqrt{2}$

4) 30

5) 34

А)

Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} $, воспользуемся свойством произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $:
$ \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64} $
$ \sqrt{64} = 8 $
Данное значение соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1

Б)

Выражение $ (\sqrt{32} - \sqrt{2})(\sqrt{32} + \sqrt{2}) $ является произведением разности и суммы двух чисел. Применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $, где $ a = \sqrt{32} $ и $ b = \sqrt{2} $:
$ (\sqrt{32})^2 - (\sqrt{2})^2 = 32 - 2 = 30 $
Данное значение соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: 4

В)

Рассмотрим выражение $ \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{32})^2} + \sqrt{2} $.
Воспользуемся свойством квадратного корня $ \sqrt{x^2} = |x| $:
$ \sqrt{(\sqrt{2} - \sqrt{32})^2} = |\sqrt{2} - \sqrt{32}| $
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак выражения внутри него. Так как $ 32 > 2 $, то и $ \sqrt{32} > \sqrt{2} $. Следовательно, разность $ \sqrt{2} - \sqrt{32} $ является отрицательным числом.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, т.е. $ |y| = -y $, если $ y < 0 $.
$ |\sqrt{2} - \sqrt{32}| = -(\sqrt{2} - \sqrt{32}) = \sqrt{32} - \sqrt{2} $
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$ (\sqrt{32} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = \sqrt{32} $
Упростим $ \sqrt{32} $, вынеся множитель из-под знака корня:
$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $
Данное значение соответствует варианту ответа под номером 2.
Ответ: 2

7. Решите уравнение

$\sqrt{8x+9} = 9$

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{8x + 9} = 9$.

Для решения этого типа уравнений необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Важно помнить, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной. В данном случае $9 > 0$, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием.

$(\sqrt{8x + 9})^2 = 9^2$

Выполним возведение в степень в обеих частях:

$8x + 9 = 81$

В результате мы получили простое линейное уравнение. Для его решения перенесем свободный член (9) из левой части в правую, изменив его знак:

$8x = 81 - 9$

$8x = 72$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 8:

$x = \frac{72}{8}$

$x = 9$

После нахождения корня в иррациональном уравнении рекомендуется выполнить проверку, чтобы убедиться в отсутствии посторонних корней, которые могли появиться при возведении в квадрат.

Подставим найденное значение $x = 9$ в исходное уравнение:

$\sqrt{8 \cdot 9 + 9} = 9$

$\sqrt{72 + 9} = 9$

$\sqrt{81} = 9$

$9 = 9$

Равенство получилось верным, следовательно, значение $x = 9$ является корнем данного уравнения.

Ответ: 9

8. Найдите значение выражения $\frac{m^2}{25}$ при $m = 5\sqrt{6}$.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{m^2}{25}$ при $m = 5\sqrt{6}$, необходимо подставить значение $m$ в это выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $m = 5\sqrt{6}$:

$\frac{m^2}{25} = \frac{(5\sqrt{6})^2}{25}$

Теперь возведем в квадрат выражение в числителе. Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(5\sqrt{6})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{6})^2$

Вычислим значения квадратов:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{6})^2 = 6$

Следовательно, $(5\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150$.

Подставим полученное значение обратно в дробь:

$\frac{150}{25}$

Разделим 150 на 25:

$150 \div 25 = 6$

Можно решить и другим способом, сократив дробь:

$\frac{(5\sqrt{6})^2}{25} = \frac{5^2 \cdot (\sqrt{6})^2}{25} = \frac{25 \cdot 6}{25}$

Сокращаем 25 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{25} \cdot 6}{\cancel{25}} = 6$

Ответ: 6

9. Упростите выражение $5\sqrt{54} - 7\sqrt{24}$.

Для упрощения выражения $5\sqrt{54} - 7\sqrt{24}$ необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом из слагаемых, чтобы привести их к подобным радикалам.

1. Упростим первое слагаемое $5\sqrt{54}$.
Разложим подкоренное выражение 54 на множители, один из которых является полным квадратом:
$54 = 9 \times 6 = 3^2 \times 6$
Теперь вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = \sqrt{9} \times \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
Подставим полученное значение в первое слагаемое:
$5\sqrt{54} = 5 \times 3\sqrt{6} = 15\sqrt{6}$

2. Упростим второе слагаемое $7\sqrt{24}$.
Разложим подкоренное выражение 24 на множители, один из которых является полным квадратом:
$24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 6$
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$
Подставим полученное значение во второе слагаемое:
$7\sqrt{24} = 7 \times 2\sqrt{6} = 14\sqrt{6}$

3. Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и выполним вычитание:
$5\sqrt{54} - 7\sqrt{24} = 15\sqrt{6} - 14\sqrt{6}$
Так как оба слагаемых содержат одинаковый радикал $\sqrt{6}$, мы можем выполнить вычитание их коэффициентов:
$(15 - 14)\sqrt{6} = 1\sqrt{6} = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{50}{\sqrt{10}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. В данном случае знаменатель равен $\sqrt{10}$, поэтому мы умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$.

Исходная дробь: $\frac{50}{\sqrt{10}}$

Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:

$\frac{50}{\sqrt{10}} = \frac{50 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}$

Вычисляем знаменатель: $\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = (\sqrt{10})^2 = 10$.

Получаем новую дробь:

$\frac{50\sqrt{10}}{10}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{50\sqrt{10}}{10} = 5\sqrt{10}$

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: $5\sqrt{10}$

11. Найдите значение выражения

$(8 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 2)^2$.

Чтобы найти значение выражения $(8 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 2)^2$, выполним действия по порядку.

1. Сначала раскроем скобки в произведении $(8 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5})$, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго:

$(8 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 8 \cdot 4 + 8 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 4 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 32 + 8\sqrt{5} - 4\sqrt{5} - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(32 - 5) + (8\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) = 27 + 4\sqrt{5}$

2. Теперь возведем в квадрат выражение $(\sqrt{5} + 2)^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} + 2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним вычитание:

$(27 + 4\sqrt{5}) - (9 + 4\sqrt{5}) = 27 + 4\sqrt{5} - 9 - 4\sqrt{5}$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$(27 - 9) + (4\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) = 18 + 0 = 18$

Ответ: 18

12. Упростите выражение $ \sqrt{(a+b)^2} + \sqrt{b^2} $, если $a > 0$, $b < 0$, $|a| < |b|$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством квадратного корня, согласно которому $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа $x$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(a+b)^2} + \sqrt{b^2} = |a+b| + |b|$

Теперь нам нужно раскрыть модули, используя заданные условия: $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

1. Раскроем модуль $|b|$.

Поскольку по условию $b < 0$ (b - отрицательное число), то по определению модуля $|b| = -b$.

2. Раскроем модуль $|a+b|$.

Для этого нужно определить знак суммы $a+b$. Воспользуемся условиями $a > 0$, $b < 0$ и $|a| < |b|$.

Так как $a > 0$, то $|a| = a$.

Так как $b < 0$, то $|b| = -b$.

Подставим это в неравенство $|a| < |b|$:

$a < -b$

Перенесем $-b$ в левую часть неравенства, поменяв знак:

$a + b < 0$

Это означает, что сумма $a+b$ является отрицательным числом. Следовательно, по определению модуля:

$|a+b| = -(a+b) = -a - b$

3. Подставим раскрытые модули обратно в выражение:

$|a+b| + |b| = (-a - b) + (-b)$

Упростим полученное выражение:

$-a - b - b = -a - 2b$

Ответ: $-a - 2b$.