Страница 131 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,25}$, $\sqrt{0,025}$, $\sqrt{250}$, $\sqrt{25000}$ является рациональным?

1) $\sqrt{0,25}$

2) $\sqrt{0,025}$

3) $\sqrt{250}$

4) $\sqrt{25000}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень квадратный из некоторого числа будет рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является полным квадратом другого рационального числа. Проверим каждое из предложенных чисел.

1) $\sqrt{0,25}$
Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Число $0,5$ является рациональным, так как это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $\frac{1}{2}$.
Ответ: рациональное.

2) $\sqrt{0,025}$
Представим десятичную дробь $0,025$ в виде обыкновенной дроби: $0,025 = \frac{25}{1000}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{0,025} = \sqrt{\frac{25}{1000}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{1000}} = \frac{5}{\sqrt{100 \cdot 10}} = \frac{5}{10\sqrt{10}} = \frac{1}{2\sqrt{10}}$.
Поскольку $10$ не является полным квадратом, $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Следовательно, все выражение является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

3) $\sqrt{250}$
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат: $250 = 25 \cdot 10$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{10} = 5\sqrt{10}$.
Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, то и $5\sqrt{10}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

4) $\sqrt{25000}$
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полный квадрат: $25000 = 2500 \cdot 10$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{25000} = \sqrt{2500 \cdot 10} = \sqrt{2500} \cdot \sqrt{10} = 50\sqrt{10}$.
Поскольку $\sqrt{10}$ — иррациональное число, то и $50\sqrt{10}$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное.

Среди предложенных вариантов только число $\sqrt{0,25}$ является рациональным.

2. Укажите наименьшее из приведённых чисел.

1) $10$

2) $3\sqrt{11}$

3) $7\sqrt{2}$

4) $\sqrt{102}$

Чтобы найти наименьшее из приведённых чисел, необходимо их сравнить. Для удобства сравнения представим все числа в виде квадратного корня, то есть внесём множитель под знак корня по формуле $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ (для $a \geq 0$). После этого мы сможем сравнить подкоренные выражения. Чем меньше значение под корнем, тем меньше и само число.

1) 10

Представим число 10 в виде квадратного корня:

$10 = \sqrt{10^2} = \sqrt{100}$

2) 3√11

Внесём множитель 3 под знак корня:

$3\sqrt{11} = \sqrt{3^2 \cdot 11} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{99}$

3) 7√2

Внесём множитель 7 под знак корня:

$7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$

4) √102

Это число уже представлено в виде квадратного корня: $\sqrt{102}$.

Теперь сравним полученные значения. Нам нужно сравнить числа $\sqrt{100}$, $\sqrt{99}$, $\sqrt{98}$ и $\sqrt{102}$. Для этого сравним их подкоренные выражения: 100, 99, 98 и 102.

Расположим эти числа в порядке возрастания:

$98 < 99 < 100 < 102$

Следовательно, и соответствующие им квадратные корни будут расположены в том же порядке:

$\sqrt{98} < \sqrt{99} < \sqrt{100} < \sqrt{102}$

Вернёмся к исходным числам:

$7\sqrt{2} < 3\sqrt{11} < 10 < \sqrt{102}$

Наименьшим из приведённых чисел является $7\sqrt{2}$.

Ответ: $7\sqrt{2}$.

3. Дано множество $A = \{a, b, c\}$. Укажите неверное утверждение.

1) $b \in A$

2) $a \subset A$

3) $\{b, c\} \subset A$

4) $\{a, b, c\} \subset A$

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов, учитывая, что дано множество $A = \{a, b, c\}$.

1) $b \in A$

Это утверждение читается как "элемент $b$ принадлежит множеству $A$". Знак $\in$ обозначает принадлежность элемента множеству. Поскольку множество $A$ задано как $\{a, b, c\}$, оно содержит элемент $b$. Следовательно, данное утверждение является верным.

2) $a \subset A$

Это утверждение читается как "$a$ является подмножеством множества $A$". Знак $\subset$ обозначает отношение включения одного множества в другое (т.е. отношение подмножества). Это отношение определено между двумя множествами. Однако, в данном случае $a$ — это элемент, а не множество. Отношение между элементом и множеством (принадлежность) обозначается символом $\in$. Правильная запись для множества, содержащего только элемент $a$, была бы $\{a\}$, и утверждение $\{a\} \subset A$ было бы верным. Таким образом, утверждение $a \subset A$ является некорректным с точки зрения теории множеств. Следовательно, данное утверждение является неверным.

3) $\{b, c\} \subset A$

Это утверждение читается как "множество $\{b, c\}$ является подмножеством множества $A$". Множество является подмножеством другого множества, если все его элементы содержатся во втором множестве. Элементы $b$ и $c$, составляющие множество $\{b, c\}$, оба содержатся в множестве $A = \{a, b, c\}$. Следовательно, данное утверждение является верным.

4) $\{a, b, c\} \subset A$

Это утверждение читается как "множество $\{a, b, c\}$ является подмножеством множества $A$". Поскольку множество $A$ и есть $\{a, b, c\}$, утверждение фактически гласит, что множество $A$ является подмножеством самого себя. По определению, любое множество является своим подмножеством. Следовательно, данное утверждение является верным.

Таким образом, единственное неверное утверждение из предложенных — это второе, так как оно неверно использует символ подмножества для элемента.

Ответ: 2

4. Упростите выражение $\frac{\sqrt{18b^5}}{\sqrt{2b}}$.

1) $3b^2$
2) $-3b^2$
3) $3b^4$
4) $9b^4$

Для упрощения выражения $ \frac{\sqrt{18b^5}}{\sqrt{2b}} $ воспользуемся свойством частного квадратных корней, которое гласит, что $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $ (при $ a \ge 0, b > 0 $).

Применим это правило к исходному выражению:

$ \frac{\sqrt{18b^5}}{\sqrt{2b}} = \sqrt{\frac{18b^5}{2b}} $

Далее упростим подкоренное выражение, выполнив деление:

$ \frac{18b^5}{2b} = (\frac{18}{2}) \cdot (\frac{b^5}{b}) = 9 \cdot b^{5-1} = 9b^4 $

Теперь выражение принимает вид:

$ \sqrt{9b^4} $

Чтобы извлечь корень, воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $:

$ \sqrt{9b^4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{b^4} $

Вычислим каждый множитель:

$ \sqrt{9} = 3 $

$ \sqrt{b^4} = \sqrt{(b^2)^2} = b^2 $

Перемножив результаты, получаем окончательный ответ:

$ 3 \cdot b^2 = 3b^2 $

Данный результат соответствует варианту 1).

Ответ: $3b^2$

5. Графическое решение какого из приведённых уравнений изображено на рисунке?

1) $x^2 = \frac{1}{x}$

2) $x^2 = \sqrt{x}$

3) $x^2 = x$

4) $\sqrt{x} = x$

Графическое решение уравнения вида $f(x) = g(x)$ представляет собой нахождение абсцисс точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

На представленном рисунке изображены два графика:

1. Парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Это график функции $y = x^2$.

2. Кривая, выходящая из начала координат и проходящая через первый координатный квадрант. Это график функции $y = \sqrt{x}$.

Точки пересечения этих двух графиков соответствуют решениям уравнения, в котором одна функция приравнивается к другой. Таким образом, на рисунке показано решение уравнения $x^2 = \sqrt{x}$.

Теперь проанализируем предложенные варианты:

1) $x^2 = \frac{1}{x}$
Это уравнение соответствует пересечению графиков $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x}$ (гипербола). На рисунке нет гиперболы.

2) $x^2 = \sqrt{x}$
Это уравнение соответствует пересечению графиков $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Именно эти два графика и изображены на рисунке.

3) $x^2 = x$
Это уравнение соответствует пересечению графиков $y = x^2$ и $y = x$ (прямая линия). На рисунке нет прямой $y = x$.

4) $\sqrt{x} = x$
Это уравнение соответствует пересечению графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ (прямая линия). На рисунке изображена парабола $y=x^2$, а не прямая $y=x$.

Следовательно, на рисунке изображено графическое решение уравнения $x^2 = \sqrt{x}$.

Ответ: 2