Страница 125 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Упростите выражение $5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} m^{-6} n^8$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения выражения $5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} m^{-6} n^8$ необходимо выполнить преобразования, используя свойства степеней.

1. Сначала преобразуем множитель $\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}$. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то, используя свойство $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^{(-1) \cdot (-3)} = 5^3$$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$$5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot 5^3 m^{-6} n^8$$

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями (5, m и n):

$$(5^{-5} \cdot 5^3) \cdot (m^7 \cdot m^{-6}) \cdot (n^{-12} \cdot n^8)$$

4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ для каждой группы:

• Для основания 5: $5^{-5} \cdot 5^3 = 5^{-5+3} = 5^{-2}$
• Для основания m: $m^7 \cdot m^{-6} = m^{7+(-6)} = m^{7-6} = m^1 = m$
• Для основания n: $n^{-12} \cdot n^8 = n^{-12+8} = n^{-4}$

5. Соберем все части вместе. Упрощенное выражение выглядит так:

$$5^{-2} m n^{-4}$$

6. По условию, результат необходимо представить в виде рационального выражения без степеней с отрицательным показателем. Для этого воспользуемся свойством $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$:

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

$$n^{-4} = \frac{1}{n^4}$$

7. Запишем окончательный результат в виде дроби:

$$\frac{1}{25} \cdot m \cdot \frac{1}{n^4} = \frac{m}{25n^4}$$

Ответ: $\frac{m}{25n^4}$

10. Найдите значение выражения $\frac{a^{34} \cdot a^{-16}}{a^{20}}$ при $a = 0,25$.

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней.

В числителе дроби находится произведение степеней с одинаковым основанием $a$. При умножении таких степеней их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{34} \cdot a^{-16} = a^{34 + (-16)} = a^{18}$.

Теперь выражение имеет вид $\frac{a^{18}}{a^{20}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{a^{18}}{a^{20}} = a^{18 - 20} = a^{-2}$.

Теперь, когда мы упростили выражение до $a^{-2}$, подставим в него заданное значение $a = 0,25$.
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Подставляем и вычисляем:
$a^{-2} = (0,25)^{-2} = (\frac{1}{4})^{-2}$.
По свойству степени с отрицательным показателем $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:
$(\frac{1}{4})^{-2} = (\frac{4}{1})^2 = 4^2 = 16$.

Ответ: 16

11. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами $6 \cdot 10^{-2}$ м и $4,5 \cdot 10^{-1}$ м и запишите результат в стандартном виде.

Для того чтобы вычислить площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины его сторон. Обозначим стороны прямоугольника как $a$ и $b$.

По условию задачи даны стороны:

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м

$b = 4,5 \cdot 10^{-1}$ м

Площадь $S$ прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Подставим значения сторон в формулу:

$S = (6 \cdot 10^{-2}) \cdot (4,5 \cdot 10^{-1})$

Сгруппируем отдельно числовые множители и степени с основанием 10:

$S = (6 \cdot 4,5) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{-1})$

Вычислим произведение чисел:

$6 \cdot 4,5 = 27$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$10^{-2} \cdot 10^{-1} = 10^{-2 + (-1)} = 10^{-3}$

Теперь объединим полученные результаты:

$S = 27 \cdot 10^{-3}$ м$^2$

Далее, результат необходимо записать в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $A \cdot 10^n$, где $1 \le A < 10$, а $n$ — целое число.

В нашем результате $A=27$, что не удовлетворяет условию $1 \le A < 10$. Преобразуем число 27, представив его в стандартном виде:

$27 = 2,7 \cdot 10^1$

Подставим это выражение обратно в формулу для площади:

$S = (2,7 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3}$

Снова воспользуемся свойством степеней и сложим показатели:

$S = 2,7 \cdot 10^{1 + (-3)} = 2,7 \cdot 10^{-2}$

Теперь число записано в стандартном виде, так как $1 \le 2,7 < 10$.

Ответ: $2,7 \cdot 10^{-2}$ м$^2$

12. Какое из чисел $\frac{8}{9}$, $\left(\frac{8}{9}\right)^{-6}$ и $\left(\frac{9}{8}\right)^{-6}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел наибольшее, давайте сначала упростим выражения со степенями.

Нам нужно сравнить три числа: $ \frac{8}{9} $, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $ и $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} $.

1. Первое число: $ \frac{8}{9} $. Это правильная дробь, её значение меньше 1.

2. Второе число: $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $. Используем свойство степени с отрицательным показателем $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $.

$ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} = \left(\frac{9}{8}\right)^{6} $

Основание степени $ \frac{9}{8} $ больше 1. При возведении числа, большего 1, в положительную степень, результат будет еще больше. Следовательно, $ \left(\frac{9}{8}\right)^{6} > 1 $.

3. Третье число: $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} $. Применим то же свойство степени:

$ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} = \left(\frac{8}{9}\right)^{6} $

Основание степени $ \frac{8}{9} $ меньше 1. При возведении числа, меньшего 1 (но большего 0), в положительную степень, результат будет еще меньше. Следовательно, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{6} < \frac{8}{9} < 1 $.

Теперь сравним полученные результаты:

• $ \frac{8}{9} < 1 $
• $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} = \left(\frac{9}{8}\right)^{6} > 1 $
• $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} = \left(\frac{8}{9}\right)^{6} < 1 $

Мы видим, что только одно число, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $, больше единицы. Остальные два числа меньше единицы. Следовательно, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $ является наибольшим.

Ответ: $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $