Страница 122 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Порядок числа $b$ равен $-5$. Определите порядок числа $100b$.

Порядок числа — это показатель степени в его стандартной записи. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $x = a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа $x$.

По условию задачи, порядок числа $b$ равен -5. Это означает, что число $b$ можно представить в виде:

$b = a \cdot 10^{-5}$, где $1 \le a < 10$.

Теперь необходимо определить порядок числа $100b$. Для этого умножим стандартное представление числа $b$ на 100:

$100b = 100 \cdot (a \cdot 10^{-5})$

Представим число 100 как степень десяти: $100 = 10^2$. Подставим это в выражение:

$100b = 10^2 \cdot a \cdot 10^{-5}$

Используя свойство степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), сгруппируем степени десяти:

$100b = a \cdot (10^2 \cdot 10^{-5}) = a \cdot 10^{2 + (-5)} = a \cdot 10^{-3}$

Мы получили выражение $a \cdot 10^{-3}$, которое является стандартной записью числа $100b$. Мантисса $a$ осталась без изменений и по-прежнему удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Показатель степени при основании 10, то есть порядок числа, равен -3.

Ответ: -3.

9. Упростите выражение

$\left(-\frac{1}{8}\right)^{-3} x^{-6} y^{-3} \cdot 8^{-1} x^{9} y^{-1}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения данного выражения сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: числовые коэффициенты, степени с основанием $x$ и степени с основанием $y$.

Исходное выражение: $(-\frac{1}{8})^{-3} x^{-6} y^{-3} \cdot 8^{-1} x^9 y^{-1}$

Сгруппируем множители:

$((-\frac{1}{8})^{-3} \cdot 8^{-1}) \cdot (x^{-6} \cdot x^9) \cdot (y^{-3} \cdot y^{-1})$

Теперь упростим каждую группу по отдельности.

1. Упростим числовые коэффициенты: $(-\frac{1}{8})^{-3} \cdot 8^{-1}$

Используем свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(-\frac{1}{8})^{-3} = (-\frac{8}{1})^3 = (-8)^3 = -512$

Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$8^{-1} = \frac{1}{8}$

Перемножим полученные значения:

$-512 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{512}{8} = -64$

2. Упростим множители с переменной $x$: $x^{-6} \cdot x^9$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3$

3. Упростим множители с переменной $y$: $y^{-3} \cdot y^{-1}$

Аналогично, используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$y^{-3} \cdot y^{-1} = y^{-3+(-1)} = y^{-4}$

4. Объединим все упрощенные части.

Получаем выражение: $-64 \cdot x^3 \cdot y^{-4}$

5. Запишем результат без отрицательных показателей.

Для этого снова применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ к члену $y^{-4}$:

$y^{-4} = \frac{1}{y^4}$

Подставим это в наше выражение:

$-64 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{y^4} = -\frac{64x^3}{y^4}$

Ответ: $-\frac{64x^3}{y^4}$

10. Найдите значение выражения $ \frac{a^{-26} \cdot a^{-17}}{a^{-42}} $ при $a = 0,4$.

Для нахождения значения выражения $\frac{a^{-26} \cdot a^{-17}}{a^{-42}}$ при $a = 0,4$ необходимо сначала упростить его, используя свойства степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это правило к числителю дроби:

$a^{-26} \cdot a^{-17} = a^{-26 + (-17)} = a^{-43}$

2. Теперь выражение имеет вид: $\frac{a^{-43}}{a^{-42}}$

3. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Применим это правило к полученной дроби:

$\frac{a^{-43}}{a^{-42}} = a^{-43 - (-42)} = a^{-43 + 42} = a^{-1}$

4. По определению степени с отрицательным показателем: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

5. Теперь подставим заданное значение $a = 0,4$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{0,4}$

6. Выполним деление. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$\frac{1 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{10}{4} = 2,5$

Ответ: 2,5

11. Вычислите площадь квадрата со стороной $3,5 \cdot 10^{-2}$ м и запишите результат в стандартном виде.

Для вычисления площади квадрата ($S$) используется формула, в которой длина стороны ($a$) возводится в квадрат: $S = a^2$.

По условию задачи, сторона квадрата равна $a = 3,5 \cdot 10^{-2}$ м.

Подставим это значение в формулу площади:
$S = (3,5 \cdot 10^{-2})^2$

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель по отдельности, а затем перемножить результаты:
$S = (3,5)^2 \cdot (10^{-2})^2$

Вычислим значение каждого множителя:
$(3,5)^2 = 3,5 \cdot 3,5 = 12,25$
При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
$(10^{-2})^2 = 10^{-2 \cdot 2} = 10^{-4}$

Теперь объединим полученные значения:
$S = 12,25 \cdot 10^{-4}$ м$^2$

Далее необходимо представить результат в стандартном виде. Стандартный вид числа имеет форму $c \cdot 10^n$, где $1 \le c < 10$, а $n$ — целое число.

В нашем результате $12,25 > 10$, поэтому его нужно преобразовать. Перенесем запятую на один знак влево, чтобы получить число в нужном диапазоне, и соответственно увеличим показатель степени на 1:
$12,25 = 1,225 \cdot 10^1$

Подставим это в выражение для площади:
$S = (1,225 \cdot 10^1) \cdot 10^{-4}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$S = 1,225 \cdot 10^{1 + (-4)} = 1,225 \cdot 10^{-3}$

Таким образом, площадь квадрата в стандартном виде равна $1,225 \cdot 10^{-3}$ м$^2$.

Ответ: $1,225 \cdot 10^{-3}$ м$^2$.

12. Какое из чисел $\left(\frac{6}{7}\right)^{-5}$, $\frac{7}{6}$ и $\left(\frac{7}{6}\right)^{-5}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел $ (\frac{6}{7})^{-5} $, $ \frac{7}{6} $ и $ (\frac{7}{6})^{-5} $ является наибольшим, необходимо привести их к более удобному для сравнения виду. В первую очередь, упростим выражения с отрицательной степенью, используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

1. Преобразуем первое число:

$ (\frac{6}{7})^{-5} = (\frac{7}{6})^5 $

2. Второе число $ \frac{7}{6} $ оставляем без изменений.

3. Преобразуем третье число:

$ (\frac{7}{6})^{-5} = (\frac{6}{7})^5 $

Теперь задача сводится к сравнению трех чисел: $ (\frac{7}{6})^5 $, $ \frac{7}{6} $ и $ (\frac{6}{7})^5 $.

Проанализируем основания степеней:

Число $ \frac{7}{6} $ является правильной дробью, большей единицы ($ \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} > 1 $).

Число $ \frac{6}{7} $ является правильной дробью, меньшей единицы ($ 0 < \frac{6}{7} < 1 $).

Теперь сравним полученные значения:

Так как $ \frac{7}{6} > 1 $, то при возведении этого числа в степень, большую 1 (в нашем случае в степень 5), результат будет больше исходного числа: $ (\frac{7}{6})^5 > (\frac{7}{6})^1 $, то есть $ (\frac{7}{6})^5 > \frac{7}{6} $.

Так как $ 0 < \frac{6}{7} < 1 $, то при возведении этого числа в положительную степень (в нашем случае в степень 5), результат будет меньше единицы: $ (\frac{6}{7})^5 < 1 $.

Мы знаем, что $ \frac{7}{6} > 1 $, а $ (\frac{6}{7})^5 < 1 $, следовательно, $ \frac{7}{6} > (\frac{6}{7})^5 $.

Объединив все неравенства, получим следующую последовательность (от меньшего к большему):

$ (\frac{6}{7})^5 < \frac{7}{6} < (\frac{7}{6})^5 $

Подставим в это неравенство исходные выражения:

$ (\frac{7}{6})^{-5} < \frac{7}{6} < (\frac{6}{7})^{-5} $

Из этого следует, что наибольшим числом является $ (\frac{6}{7})^{-5} $.

Ответ: $ (\frac{6}{7})^{-5} $.