Номер 12, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Какое из чисел $\left(\frac{6}{7}\right)^{-5}$, $\frac{7}{6}$ и $\left(\frac{7}{6}\right)^{-5}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел $ (\frac{6}{7})^{-5} $, $ \frac{7}{6} $ и $ (\frac{7}{6})^{-5} $ является наибольшим, необходимо привести их к более удобному для сравнения виду. В первую очередь, упростим выражения с отрицательной степенью, используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

1. Преобразуем первое число:

$ (\frac{6}{7})^{-5} = (\frac{7}{6})^5 $

2. Второе число $ \frac{7}{6} $ оставляем без изменений.

3. Преобразуем третье число:

$ (\frac{7}{6})^{-5} = (\frac{6}{7})^5 $

Теперь задача сводится к сравнению трех чисел: $ (\frac{7}{6})^5 $, $ \frac{7}{6} $ и $ (\frac{6}{7})^5 $.

Проанализируем основания степеней:

Число $ \frac{7}{6} $ является правильной дробью, большей единицы ($ \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} > 1 $).

Число $ \frac{6}{7} $ является правильной дробью, меньшей единицы ($ 0 < \frac{6}{7} < 1 $).

Теперь сравним полученные значения:

Так как $ \frac{7}{6} > 1 $, то при возведении этого числа в степень, большую 1 (в нашем случае в степень 5), результат будет больше исходного числа: $ (\frac{7}{6})^5 > (\frac{7}{6})^1 $, то есть $ (\frac{7}{6})^5 > \frac{7}{6} $.

Так как $ 0 < \frac{6}{7} < 1 $, то при возведении этого числа в положительную степень (в нашем случае в степень 5), результат будет меньше единицы: $ (\frac{6}{7})^5 < 1 $.

Мы знаем, что $ \frac{7}{6} > 1 $, а $ (\frac{6}{7})^5 < 1 $, следовательно, $ \frac{7}{6} > (\frac{6}{7})^5 $.

Объединив все неравенства, получим следующую последовательность (от меньшего к большему):

$ (\frac{6}{7})^5 < \frac{7}{6} < (\frac{7}{6})^5 $

Подставим в это неравенство исходные выражения:

$ (\frac{7}{6})^{-5} < \frac{7}{6} < (\frac{6}{7})^{-5} $

Из этого следует, что наибольшим числом является $ (\frac{6}{7})^{-5} $.

Ответ: $ (\frac{6}{7})^{-5} $.