Номер 3, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Какое из приведённых выражений тождественно равно степени $11^{k-6}$?

1) $11^k - 11^6$

2) $(11^k)^{-6}$

3) $\frac{11^k}{11^{-6}}$

4) $\frac{11^k}{11^6}$

Для того чтобы определить, какое из приведённых выражений тождественно равно степени $11^{k-6}$, необходимо воспользоваться свойствами степеней. Ключевым свойством для данной задачи является правило деления степеней с одинаковым основанием, которое формулируется следующим образом:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Используя это правило, мы можем представить исходное выражение $11^{k-6}$ в виде дроби, где $a=11$, $m=k$ и $n=6$. Таким образом, $11^{k-6} = \frac{11^k}{11^6}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $11^k - 11^6$

Данное выражение является разностью двух степеней. Важно помнить, что не существует свойства, которое бы преобразовывало степень с разностью в показателе в разность степеней. То есть, $a^{m-n} \neq a^m - a^n$. Следовательно, это выражение не равно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

2) $(11^k)^{-6}$

Для этого выражения применяется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае: $(11^k)^{-6} = 11^{k \cdot (-6)} = 11^{-6k}$. Полученное выражение $11^{-6k}$ не тождественно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

3) $\frac{11^k}{11^{-6}}$

Здесь мы также используем правило деления степеней. Показатель степени в знаменателе вычитается из показателя степени в числителе: $\frac{11^k}{11^{-6}} = 11^{k - (-6)} = 11^{k+6}$. Это выражение не равно $11^{k-6}$.

Ответ: неверно.

4) $\frac{11^k}{11^6}$

Применяя правило деления степеней с одинаковым основанием, получаем: $\frac{11^k}{11^6} = 11^{k-6}$. Это выражение в точности совпадает с исходным.

Ответ: верно.