Номер 9, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Упростите выражение $5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} m^{-6} n^8$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения выражения $5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} m^{-6} n^8$ необходимо выполнить преобразования, используя свойства степеней.

1. Сначала преобразуем множитель $\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}$. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, то, используя свойство $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем:

$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^{(-1) \cdot (-3)} = 5^3$$

2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$$5^{-5} m^7 n^{-12} \cdot 5^3 m^{-6} n^8$$

3. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями (5, m и n):

$$(5^{-5} \cdot 5^3) \cdot (m^7 \cdot m^{-6}) \cdot (n^{-12} \cdot n^8)$$

4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ для каждой группы:

• Для основания 5: $5^{-5} \cdot 5^3 = 5^{-5+3} = 5^{-2}$
• Для основания m: $m^7 \cdot m^{-6} = m^{7+(-6)} = m^{7-6} = m^1 = m$
• Для основания n: $n^{-12} \cdot n^8 = n^{-12+8} = n^{-4}$

5. Соберем все части вместе. Упрощенное выражение выглядит так:

$$5^{-2} m n^{-4}$$

6. По условию, результат необходимо представить в виде рационального выражения без степеней с отрицательным показателем. Для этого воспользуемся свойством $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$:

$$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$

$$n^{-4} = \frac{1}{n^4}$$

7. Запишем окончательный результат в виде дроби:

$$\frac{1}{25} \cdot m \cdot \frac{1}{n^4} = \frac{m}{25n^4}$$

Ответ: $\frac{m}{25n^4}$