Номер 4, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $\frac{1}{243}m^{-10}n^{25} = (*)^{-5}$, чтобы образовалось тождество.

1) $\frac{1}{3}m^{-2}n^5$

2) $3m^{-2}n^5$

3) $\frac{1}{3}m^2n^{-5}$

4) $3m^2n^{-5}$

Для того чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки (*), необходимо преобразовать левую часть равенства таким образом, чтобы она представляла собой некоторое выражение в степени $-5$. Обозначим искомое выражение за $X$.

Исходное тождество: $\frac{1}{243}m^{-10}n^{25} = (X)^{-5}$

Чтобы найти $X$, возведём обе части равенства в степень $-\frac{1}{5}$:

$X = \left(\frac{1}{243}m^{-10}n^{25}\right)^{-\frac{1}{5}}$

Воспользуемся свойством степени $(a \cdot b \cdot c)^k = a^k \cdot b^k \cdot c^k$ и применим его к каждому множителю в скобках:

$X = \left(\frac{1}{243}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot (m^{-10})^{-\frac{1}{5}} \cdot (n^{25})^{-\frac{1}{5}}$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности, используя правила действий со степенями:

• Для числового коэффициента: $\left(\frac{1}{243}\right)^{-\frac{1}{5}} = (243)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{243}$. Так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$, то $\sqrt[5]{243} = 3$.
• Для переменной $m$: $(m^{-10})^{-\frac{1}{5}}$. Используя свойство $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем: $m^{-10 \cdot (-\frac{1}{5})} = m^{\frac{10}{5}} = m^2$.
• Для переменной $n$: $(n^{25})^{-\frac{1}{5}}$. Аналогично, получаем: $n^{25 \cdot (-\frac{1}{5})} = n^{-\frac{25}{5}} = n^{-5}$.

Собрав все части вместе, получаем искомое выражение:

$X = 3 \cdot m^2 \cdot n^{-5} = 3m^2n^{-5}$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $3m^2n^{-5}$