Страница 124 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $\frac{1}{243}m^{-10}n^{25} = (*)^{-5}$, чтобы образовалось тождество.

1) $\frac{1}{3}m^{-2}n^5$

2) $3m^{-2}n^5$

3) $\frac{1}{3}m^2n^{-5}$

4) $3m^2n^{-5}$

Для того чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки (*), необходимо преобразовать левую часть равенства таким образом, чтобы она представляла собой некоторое выражение в степени $-5$. Обозначим искомое выражение за $X$.

Исходное тождество: $\frac{1}{243}m^{-10}n^{25} = (X)^{-5}$

Чтобы найти $X$, возведём обе части равенства в степень $-\frac{1}{5}$:

$X = \left(\frac{1}{243}m^{-10}n^{25}\right)^{-\frac{1}{5}}$

Воспользуемся свойством степени $(a \cdot b \cdot c)^k = a^k \cdot b^k \cdot c^k$ и применим его к каждому множителю в скобках:

$X = \left(\frac{1}{243}\right)^{-\frac{1}{5}} \cdot (m^{-10})^{-\frac{1}{5}} \cdot (n^{25})^{-\frac{1}{5}}$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности, используя правила действий со степенями:

• Для числового коэффициента: $\left(\frac{1}{243}\right)^{-\frac{1}{5}} = (243)^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{243}$. Так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$, то $\sqrt[5]{243} = 3$.
• Для переменной $m$: $(m^{-10})^{-\frac{1}{5}}$. Используя свойство $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем: $m^{-10 \cdot (-\frac{1}{5})} = m^{\frac{10}{5}} = m^2$.
• Для переменной $n$: $(n^{25})^{-\frac{1}{5}}$. Аналогично, получаем: $n^{25 \cdot (-\frac{1}{5})} = n^{-\frac{25}{5}} = n^{-5}$.

Собрав все части вместе, получаем искомое выражение:

$X = 3 \cdot m^2 \cdot n^{-5} = 3m^2n^{-5}$

Это выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $3m^2n^{-5}$

5. Площадь Хабаровского края составляет 787,6 тыс. км². Как записывают эту величину в стандартном виде?

1) $78,76 \cdot 10^4 \text{ км}^2$

2) $7,876 \cdot 10^4 \text{ км}^2$

3) $7,876 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

4) $7,876 \cdot 10^6 \text{ км}^2$

Стандартный вид числа — это его запись в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число (называемое порядком числа).

Решение

1. В условии задачи указана площадь 787,6 тыс. км². Приставка "тыс." означает "тысяча", то есть множитель $1000$ или $10^3$. Запишем площадь в виде числа в км²:

$787,6 \text{ тыс. км}^2 = 787,6 \cdot 1000 \text{ км}^2 = 787600 \text{ км}^2$.

2. Теперь необходимо представить число $787600$ в стандартном виде. Для этого первый множитель $a$ (мантисса) должен быть в диапазоне $1 \le a < 10$. Чтобы этого добиться, нужно поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после цифры 7. Получим число $7,876$.

3. Чтобы значение числа не изменилось, нужно умножить $7,876$ на $10$ в степени $n$. Степень $n$ равна количеству разрядов, на которое мы сдвинули запятую. В числе $787600$ запятая неявно стоит в конце ($787600,0$). Мы сдвинули ее влево на 5 позиций, чтобы получить $7,876$.

$7\underbrace{87600,}_{5 \text{ позиций}}$

Следовательно, $n = 5$.

4. Таким образом, площадь в стандартном виде равна:

$787600 \text{ км}^2 = 7,876 \cdot 10^5 \text{ км}^2$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $7,876 \cdot 10^5 \text{ км}^2$.

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $(c^2)^{-2}$

Б) $c^2 : c^{-2}$

В) $c^2 \cdot c^{-4}$

Тождественно равное выражение

1) $c^2$

2) $c^4$

3) $\frac{1}{c}$

4) $\frac{1}{c^2}$

5) $\frac{1}{c^4}$

А) Рассмотрим выражение $(c^2)^{-2}$. Для его упрощения воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применяя это правило, получаем:
$(c^2)^{-2} = c^{2 \cdot (-2)} = c^{-4}$.
Далее, используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$c^{-4} = \frac{1}{c^4}$.
Это выражение соответствует варианту под номером 5.
Ответ: 5

Б) Рассмотрим выражение $c^2 : c^{-2}$. Для его упрощения воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применяя это правило, получаем:
$c^2 : c^{-2} = c^{2 - (-2)} = c^{2+2} = c^4$.
Это выражение соответствует варианту под номером 2.
Ответ: 2

В) Рассмотрим выражение $c^2 \cdot c^{-4}$. Для его упрощения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применяя это правило, получаем:
$c^2 \cdot c^{-4} = c^{2 + (-4)} = c^{2-4} = c^{-2}$.
Теперь применим свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$c^{-2} = \frac{1}{c^2}$.
Это выражение соответствует варианту под номером 4.
Ответ: 4

7. Решите уравнение $\frac{x^2 + 6x}{x^2 + 12x + 36} = 0.$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

или

$x + 6 = 0 \Rightarrow x_2 = -6$

2. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль при найденных значениях $x$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$x^2 + 12x + 36 \neq 0$

Левая часть этого неравенства является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x+6)^2$

Следовательно, условие ОДЗ выглядит так:

$(x+6)^2 \neq 0$

Это означает, что $x+6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.

3. Сопоставим корни, полученные в первом шаге, с областью допустимых значений. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq -6$. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию ОДЗ, поэтому он является посторонним корнем и должен быть исключен.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 0

8. Порядок числа $c$ равен $3$. Определите порядок числа $0.00001c$.

Порядок числа — это показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ — целое число, которое и является порядком.

По условию задачи, порядок числа $c$ равен 3. Это значит, что число $c$ можно записать в стандартном виде как $c = a \cdot 10^3$, где $1 \le |a| < 10$.

Требуется определить порядок числа $0,00001c$. Для этого представим оба множителя в стандартном виде и перемножим их.
Число $0,00001$ в стандартном виде записывается как $1 \cdot 10^{-5}$.

Теперь выполним умножение:
$0,00001c = (1 \cdot 10^{-5}) \cdot (a \cdot 10^3)$
Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), получим:
$0,00001c = a \cdot 10^{-5+3} = a \cdot 10^{-2}$

Так как множитель $a$ удовлетворяет условию $1 \le |a| < 10$, полученная запись $a \cdot 10^{-2}$ является стандартным видом числа. Показатель степени при основании 10 равен -2. Следовательно, порядок числа $0,00001c$ равен -2.

Ответ: -2