Страница 118 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Какое из приведённых выражений тождественно равно степени $14^{k-4}$?

1) $\frac{14^k}{14^{-4}}$

2) $(14^k)^{-4}$

3) $\frac{14^k}{14^4}$

4) $14^k - 14^4$

Для того чтобы найти выражение, тождественно равное степени $14^{k-4}$, необходимо применить свойства степеней. Выражение $a^{m-n}$ соответствует правилу деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В нашем случае $a=14$, $m=k$ и $n=4$. Таким образом, $14^{k-4} = \frac{14^k}{14^4}$.

Теперь проанализируем каждое из предложенных выражений:

1) $\frac{14^k}{14^{-4}}$

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, получаем:

$\frac{14^k}{14^{-4}} = 14^{k - (-4)} = 14^{k+4}$

Данное выражение не равно $14^{k-4}$.

Ответ: неверно.

2) $(14^k)^{-4}$

Используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), получаем:

$(14^k)^{-4} = 14^{k \cdot (-4)} = 14^{-4k}$

Данное выражение не равно $14^{k-4}$.

Ответ: неверно.

3) $\frac{14^k}{14^4}$

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, получаем:

$\frac{14^k}{14^4} = 14^{k-4}$

Данное выражение тождественно равно исходной степени.

Ответ: верно.

4) $14^k - 14^4$

Это разность степеней, а не частное. Для разности степеней не существует правила, которое бы преобразовывало ее в степень с разностью показателей. Следовательно, это выражение не равно $14^{k-4}$.

Ответ: неверно.

Таким образом, правильным является выражение под номером 3.

Ответ: 3.

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $216a^{12}b^{-15} = (*)^{-3}$, чтобы образовалось тождество.

1) $6a^{15}b^{-12}$

2) $6a^4b^{-5}$

3) $-\frac{1}{6}a^{-4}b^5$

4) $\frac{1}{6}a^4b^{-5}$

Чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, обозначим это выражение как $X$. Заданное тождество имеет вид:

$216a^{12}b^{-15} = X^{-3}$

Чтобы найти $X$, необходимо возвести обе части уравнения в степень $-\frac{1}{3}$.

$X = (216a^{12}b^{-15})^{-\frac{1}{3}}$

Используя свойство степени $(p \cdot q \cdot r)^n = p^n \cdot q^n \cdot r^n$, применим его к каждому множителю в скобках:

$X = (216)^{-\frac{1}{3}} \cdot (a^{12})^{-\frac{1}{3}} \cdot (b^{-15})^{-\frac{1}{3}}$

Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для числового коэффициента:

$(216)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{216^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{216}} = \frac{1}{6}$, так как $6^3 = 216$.

Для переменных, используя свойство возведения степени в степень $(p^m)^n = p^{m \cdot n}$:

$(a^{12})^{-\frac{1}{3}} = a^{12 \cdot (-\frac{1}{3})} = a^{-\frac{12}{3}} = a^{-4}$

$(b^{-15})^{-\frac{1}{3}} = b^{-15 \cdot (-\frac{1}{3})} = b^{\frac{15}{3}} = b^{5}$

Соединив все части, мы находим искомое выражение:

$X = \frac{1}{6}a^{-4}b^5$

Данное выражение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{1}{6}a^{-4}b^5$

5. Площадь Республики Саха (Якутия) составляет 3083,5 тыс. км². Как записывают эту величину в стандартном виде?

1) $3,0835 \cdot 10^3 \text{ км}^2$

2) $3,0835 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

3) $3,0835 \cdot 10^6 \text{ км}^2$

4) $30,835 \cdot 10^4 \text{ км}^2$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

Исходная величина площади составляет $3083,5$ тыс. км².

1. Сначала переведем это значение в обычное число, избавившись от приставки "тыс.". "тыс." означает тысячу, то есть $1000$ или $10^3$.
$3083,5 \text{ тыс. км}^2 = 3083,5 \cdot 1000 \text{ км}^2 = 3\;083\;500 \text{ км}^2$.

2. Теперь представим число $3\;083\;500$ в стандартном виде. Для этого нужно записать его в виде произведения, где первый множитель ($a$) — число от 1 до 10, а второй — степень десяти.
Чтобы получить множитель $a$, нужно поставить запятую после первой значащей цифры. В числе $3\;083\;500$ это цифра 3. Получаем $a=3,0835$.

3. Определим показатель степени $n$. Для этого посчитаем, на сколько знаков влево мы сдвинули запятую. В числе $3\;083\;500$ запятая неявно стоит в конце ($3\;083\;500,$). Чтобы получить $3,0835$, мы сдвинули запятую на 6 знаков влево. Следовательно, показатель степени $n$ равен 6.
$3\;083\;500 = 3,0835 \cdot 1\;000\;000 = 3,0835 \cdot 10^6$.

Таким образом, площадь Республики Саха (Якутия) в стандартном виде записывается как $3,0835 \cdot 10^6$ км². Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $3,0835 \cdot 10^6$ км²

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $(a^2)^{-1}$

Б) $a^2 \cdot a^{-3}$

В) $a^{-3} : a^{-4}$

Тождественно равное выражение

1) $a$

2) $a^2$

3) $a^3$

4) $\frac{1}{a}$

5) $\frac{1}{a^2}$

А) $(a^2)^{-1}$

Для упрощения данного выражения используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применяя это правило, получаем:
$(a^2)^{-1} = a^{2 \cdot (-1)} = a^{-2}$
Далее, используем определение степени с отрицательным показателем: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.
$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$
Таким образом, выражение $(a^2)^{-1}$ тождественно равно выражению $\frac{1}{a^2}$, что соответствует варианту 5.

Ответ: 5

Б) $a^2 \cdot a^{-3}$

Для упрощения данного выражения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Применяя это правило, получаем:
$a^2 \cdot a^{-3} = a^{2 + (-3)} = a^{2-3} = a^{-1}$
Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-1} = \frac{1}{x}$, получаем:
$a^{-1} = \frac{1}{a}$
Таким образом, выражение $a^2 \cdot a^{-3}$ тождественно равно выражению $\frac{1}{a}$, что соответствует варианту 4.

Ответ: 4

В) $a^{-3} : a^{-4}$

Для упрощения данного выражения используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Применяя это правило, получаем:
$a^{-3} : a^{-4} = a^{-3 - (-4)} = a^{-3+4} = a^1 = a$
Таким образом, выражение $a^{-3} : a^{-4}$ тождественно равно выражению $a$, что соответствует варианту 1.

Ответ: 1

7. Решите уравнение $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 14x + 49} = 0$.

Уравнение $\frac{x^2 - 7x}{x^2 - 14x + 49} = 0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля.

Таким образом, решение уравнения сводится к решению системы: $$ \begin{cases} x^2 - 7x = 0, \\ x^2 - 14x + 49 \neq 0. \end{cases} $$

1. Решим первое уравнение, чтобы найти возможные корни: $x^2 - 7x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $x_2 = 7$.

2. Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x^2 - 14x + 49 \neq 0$
Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x - 7)^2 \neq 0$
Это неравенство верно, если $x - 7 \neq 0$, то есть $x \neq 7$.

3. Сравним корни, полученные в первом шаге, с областью допустимых значений. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 7$, следовательно, он является решением исходного уравнения. Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию $x \neq 7$, поэтому он является посторонним корнем и должен быть исключен.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 0