Страница 111 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению $\frac{m}{np} \cdot \frac{p}{n}$?

1) $\frac{m}{p^2}$

2) $\frac{m}{n^2}$

3) $\frac{n^2}{m}$

4) $\frac{m}{2n}$

1. Чтобы найти, какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению $ \frac{m}{np} \cdot \frac{p}{n} $, необходимо выполнить умножение этих дробей и упростить полученное выражение.

Сначала перемножим числители и знаменатели согласно правилу умножения дробей:

$ \frac{m}{np} \cdot \frac{p}{n} = \frac{m \cdot p}{np \cdot n} = \frac{mp}{n^2p} $

Затем, сократим полученную дробь на общий множитель $p$, который присутствует и в числителе, и в знаменателе (при условии, что $n \neq 0$ и $p \neq 0$):

$ \frac{m\cancel{p}}{n^2\cancel{p}} = \frac{m}{n^2} $

Полученное выражение $ \frac{m}{n^2} $ соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ \frac{m}{n^2} $

2. Выполните умножение: $6x^3y^2 \cdot \frac{3}{11xy^4}$

1) $\frac{x^2}{y^2}$

2) $\frac{9x^2}{11y^2}$

3) $\frac{18x^2y^2}{11}$

4) $\frac{18x^2}{11y^2}$

Для выполнения умножения одночлена на дробь, представим одночлен в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей.

$6x^3y^2 \cdot \frac{3}{11xy^4} = \frac{6x^3y^2}{1} \cdot \frac{3}{11xy^4}$

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели:

$\frac{6x^3y^2 \cdot 3}{1 \cdot 11xy^4} = \frac{18x^3y^2}{11xy^4}$

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сокращение можно произвести для числовых коэффициентов и для каждой переменной в отдельности, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

1. Числовые коэффициенты 18 и 11 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому они остаются без изменений.

2. Сократим степени переменной $x$:

$\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2$

3. Сократим степени переменной $y$:

$\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$

Объединим все полученные части:

$\frac{18x^3y^2}{11xy^4} = \frac{18}{11} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{y^2}{y^4} = \frac{18 \cdot x^2 \cdot 1}{11 \cdot 1 \cdot y^2} = \frac{18x^2}{11y^2}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: $\frac{18x^2}{11y^2}$

3. Выполните деление: $ (\frac{a^5}{b})^2 : (\frac{a^2}{b^3})^4 $.

1) $\frac{a^2}{b^{10}}$

2) $\frac{b^{10}}{a^2}$

3) $a^2b^{10}$

4) $\frac{1}{a^2b^{10}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Вначале раскроем скобки, используя правило возведения дроби в степень $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $ и правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $.

Возведем в степень первую дробь:

$ (\frac{a^5}{b})^2 = \frac{(a^5)^2}{b^2} = \frac{a^{5 \cdot 2}}{b^2} = \frac{a^{10}}{b^2} $

Возведем в степень вторую дробь:

$ (\frac{a^2}{b^3})^4 = \frac{(a^2)^4}{(b^3)^4} = \frac{a^{2 \cdot 4}}{b^{3 \cdot 4}} = \frac{a^8}{b^{12}} $

Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{a^{10}}{b^2} : \frac{a^8}{b^{12}} = \frac{a^{10}}{b^2} \cdot \frac{b^{12}}{a^8} $

Далее, сгруппируем переменные с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^{10} \cdot b^{12}}{b^2 \cdot a^8} = \frac{a^{10}}{a^8} \cdot \frac{b^{12}}{b^2} = a^{10-8} \cdot b^{12-2} = a^2 b^{10} $

Полученный результат $ a^2b^{10} $ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $ a^2b^{10} $

4. Упростите выражение $ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} : \frac{x - 5}{3x + 6} $

1) $ 2x $

2) $ \frac{x}{2} $

3) $ \frac{1}{2x} $

4) $ \frac{2}{x} $

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо выполнить деление дробей. Правило деления дробей гласит, что для деления одной дроби на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

Исходное выражение:

$$ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} : \frac{x - 5}{3x + 6} $$

Применяем правило деления дробей, заменяя знак деления на умножение и переворачивая вторую дробь:

$$ \frac{x^2 - 5x}{6x + 12} \cdot \frac{3x + 6}{x - 5} $$

Следующим шагом разложим числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.

1. Числитель первой дроби $x^2 - 5x$. Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$$ x^2 - 5x = x(x - 5) $$

2. Знаменатель первой дроби $6x + 12$. Выносим общий множитель 6 за скобки:

$$ 6x + 12 = 6(x + 2) $$

3. Числитель второй дроби $3x + 6$. Выносим общий множитель 3 за скобки:

$$ 3x + 6 = 3(x + 2) $$

4. Знаменатель второй дроби $(x - 5)$ уже является простым множителем.

Подставляем полученные разложения обратно в выражение:

$$ \frac{x(x - 5)}{6(x + 2)} \cdot \frac{3(x + 2)}{x - 5} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем общий множитель $(x - 5)$ и общий множитель $(x + 2)$:

$$ \frac{x \cdot (x - 5) \cdot 3 \cdot (x + 2)}{6 \cdot (x + 2) \cdot (x - 5)} = \frac{3x}{6} $$

Осталось сократить числовую дробь $\frac{3}{6}$. Делим числитель и знаменатель на 3:

$$ \frac{3x}{6} = \frac{x}{2} $$

Таким образом, после упрощения исходное выражение равно $\frac{x}{2}$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $\frac{x}{2}$

5. Какому числу при всех допустимых значениях b равно значение выражения

$\left(\frac{6b}{b^2 - 9} - \frac{3}{b - 3}\right) : \left(\frac{5b + 6}{b + 3} - 5\right)?$

1) $ -\frac{1}{3} $

2) $ \frac{1}{3} $

3) $ -3 $

4) $ 3 $

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо его упростить. Решение будет состоять из нескольких шагов: упрощение выражений в каждой из скобок и затем выполнение деления.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $b$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $b^2 - 9 \neq 0 \implies (b-3)(b+3) \neq 0 \implies b \neq 3$ и $b \neq -3$.
• $b - 3 \neq 0 \implies b \neq 3$.
• $b + 3 \neq 0 \implies b \neq -3$.

Также делитель не должен быть равен нулю. Упростим его: $\frac{5b + 6}{b + 3} - 5 = \frac{5b + 6 - 5(b+3)}{b+3} = \frac{-9}{b+3}$. Это выражение не равно нулю при $b \neq -3$.

Таким образом, ОДЗ: $b \neq \pm 3$.

1. Упрощение выражения в первых скобках:

$ \frac{6b}{b^2 - 9} - \frac{3}{b - 3} $

Используем формулу разности квадратов для знаменателя первой дроби $b^2 - 9 = (b - 3)(b + 3)$. Затем приведем дроби к общему знаменателю $(b - 3)(b + 3)$:

$ \frac{6b}{(b - 3)(b + 3)} - \frac{3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{6b - 3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6b - 3b - 9}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{3b - 9}{(b - 3)(b + 3)} $

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим полученную дробь:

$ \frac{3(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)} = \frac{3}{b + 3} $

2. Упрощение выражения во вторых скобках:

$ \frac{5b + 6}{b + 3} - 5 $

Приведем к общему знаменателю $(b + 3)$:

$ \frac{5b + 6}{b + 3} - \frac{5(b + 3)}{b + 3} = \frac{5b + 6 - 5(b + 3)}{b + 3} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{5b + 6 - 5b - 15}{b + 3} = \frac{-9}{b + 3} $

3. Выполнение деления:

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{3}{b + 3}\right) : \left(\frac{-9}{b + 3}\right) $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{3}{b + 3} \cdot \frac{b + 3}{-9} = \frac{3 \cdot (b + 3)}{(b + 3) \cdot (-9)} $

Сократим общие множители $(b+3)$ и упростим числовое выражение:

$ \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} $

Таким образом, при всех допустимых значениях $b$ значение выражения постоянно и равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $(\frac{1}{a-3} - \frac{1}{a+3}) : \frac{6}{a-3}$

Б) $(\frac{3a}{a-3} + a) : a^2$

В) $(\frac{3a}{a+3} - a) : \frac{a^2}{a^2+6a+9}$

Тождественно равное выражение

1) $a+3$

2) $-a-3$

3) $\frac{1}{a+3}$

4) $\frac{1}{a-3}$

5) $\frac{1}{3-a}$

А)

Упростим выражение $ \left( \frac{1}{a - 3} - \frac{1}{a + 3} \right) : \frac{6}{a - 3} $.

1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $ (a - 3)(a + 3) $:

$ \frac{1}{a - 3} - \frac{1}{a + 3} = \frac{1 \cdot (a + 3) - 1 \cdot (a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{a + 3 - a + 3}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} $

2. Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} : \frac{6}{a - 3} = \frac{6}{(a - 3)(a + 3)} \cdot \frac{a - 3}{6} $

3. Сократим общие множители $6$ и $ (a - 3) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{6}}{\cancel{(a - 3)}(a + 3)} \cdot \frac{\cancel{a - 3}}{\cancel{6}} = \frac{1}{a + 3} $

Полученное выражение соответствует варианту 3) в правом столбце.

Ответ: 3

Б)

Упростим выражение $ \left( \frac{3a}{a - 3} + a \right) : a^2 $.

1. Выполним сложение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $ (a - 3) $:

$ \frac{3a}{a - 3} + a = \frac{3a}{a - 3} + \frac{a(a - 3)}{a - 3} = \frac{3a + a^2 - 3a}{a - 3} = \frac{a^2}{a - 3} $

2. Выполним деление:

$ \frac{a^2}{a - 3} : a^2 = \frac{a^2}{a - 3} \cdot \frac{1}{a^2} $

3. Сократим общий множитель $ a^2 $:

$ \frac{\cancel{a^2}}{a - 3} \cdot \frac{1}{\cancel{a^2}} = \frac{1}{a - 3} $

Полученное выражение соответствует варианту 4) в правом столбце.

Ответ: 4

В)

Упростим выражение $ \left( \frac{3a}{a + 3} - a \right) : \frac{a^2}{a^2 + 6a + 9} $.

1. Выполним вычитание в скобках, приведя к общему знаменателю $ (a + 3) $:

$ \frac{3a}{a + 3} - a = \frac{3a}{a + 3} - \frac{a(a + 3)}{a + 3} = \frac{3a - (a^2 + 3a)}{a + 3} = \frac{3a - a^2 - 3a}{a + 3} = \frac{-a^2}{a + 3} $

2. Заметим, что знаменатель делителя $ a^2 + 6a + 9 $ является полным квадратом суммы: $ (a + 3)^2 $.

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$ \frac{-a^2}{a + 3} : \frac{a^2}{(a + 3)^2} = \frac{-a^2}{a + 3} \cdot \frac{(a + 3)^2}{a^2} $

4. Сократим общие множители $ a^2 $ и $ (a + 3) $:

$ \frac{-\cancel{a^2}}{\cancel{a + 3}} \cdot \frac{(a + 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2}} = -(a + 3) = -a - 3 $

Полученное выражение соответствует варианту 2) в правом столбце.

Ответ: 2