Страница 107 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $ \frac{7 - 2c}{c} $, если $c = 0,7$?

1) 0,8

2) 8

3) 1,2

4) 12

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить в него заданное значение переменной c и выполнить вычисления, соблюдая порядок действий.

Дано выражение: $\frac{7 - 2c}{c}$

Подставим в него значение $c = 0,7$:
$\frac{7 - 2 \cdot 0,7}{0,7}$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Сначала выполним операцию умножения в числителе дроби:
$2 \cdot 0,7 = 1,4$

2. Затем выполним операцию вычитания в числителе:
$7 - 1,4 = 5,6$

3. Теперь у нас есть дробь:
$\frac{5,6}{0,7}$

4. Выполним деление. Чтобы избавиться от десятичных дробей, можно умножить числитель и знаменатель на 10:
$\frac{5,6 \cdot 10}{0,7 \cdot 10} = \frac{56}{7} = 8$

Значение выражения равно 8. Среди предложенных вариантов это ответ под номером 2.
Ответ: 8

2. Какая из приведённых пар значений переменных $a$ и $b$ является недопустимой для выражения $ \frac{a^2 + 5ab - b^4}{3a + b} $?

1) $a = \frac{1}{3}, b = 1$

2) $a = -3, b = 1$

3) $a = 1, b = -2$

4) $a = -2, b = 6$

Недопустимой является та пара значений переменных, при которой знаменатель алгебраической дроби $ \frac{a^2 + 5ab - b^4}{3a + b} $ обращается в ноль. Таким образом, нам нужно найти пару $ (a, b) $, для которой выполняется равенство $ 3a + b = 0 $.

Проверим каждую из предложенных пар значений.

1) $ a = \frac{1}{3}, b = 1 $

Подставим эти значения в выражение для знаменателя: $ 3a + b = 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 = 1 + 1 = 2 $. Поскольку результат не равен нулю ($ 2 \neq 0 $), эта пара значений является допустимой.

Ответ: допустимо.

2) $ a = -3, b = 1 $

Подставим эти значения в выражение для знаменателя: $ 3a + b = 3 \cdot (-3) + 1 = -9 + 1 = -8 $. Поскольку результат не равен нулю ($ -8 \neq 0 $), эта пара значений является допустимой.

Ответ: допустимо.

3) $ a = 1, b = -2 $

Подставим эти значения в выражение для знаменателя: $ 3a + b = 3 \cdot 1 + (-2) = 3 - 2 = 1 $. Поскольку результат не равен нулю ($ 1 \neq 0 $), эта пара значений является допустимой.

Ответ: допустимо.

4) $ a = -2, b = 6 $

Подставим эти значения в выражение для знаменателя: $ 3a + b = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0 $. Поскольку знаменатель обращается в ноль, данная пара значений является недопустимой для исходного выражения.

Ответ: недопустимо.

3. Сократите дробь $\frac{36c^9}{42c^3}$.

1) $\frac{6c^3}{7}$

2) $\frac{6c^6}{7}$

3) $\frac{6}{7c^3}$

4) $\frac{6}{7c^6}$

Чтобы сократить дробь $\frac{36c^9}{42c^3}$, необходимо отдельно сократить числовые коэффициенты и степени переменной.

Сначала сократим числовую часть дроби, то есть $\frac{36}{42}$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 36 и 42. Оба числа делятся на 6:

$\frac{36}{42} = \frac{6 \cdot 6}{6 \cdot 7} = \frac{6}{7}$

Далее сократим переменную часть $\frac{c^9}{c^3}$. Согласно свойству степеней при делении, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Применим это правило:

$\frac{c^9}{c^3} = c^{9-3} = c^6$

Теперь объединим полученные результаты:

$\frac{36c^9}{42c^3} = \frac{6}{7} \cdot c^6 = \frac{6c^6}{7}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2) $\frac{6c^6}{7}$

4. Приведите дробь $\frac{a+5}{a-9}$ к знаменателю $a^2-9a$.

1) $\frac{a+5}{a^2-9a}$

2) $\frac{a^2+5a}{a^2-9a}$

3) $\frac{a^2+5}{a^2-9a}$

4) $\frac{a^2-5a}{a^2-9a}$

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель. Дополнительный множитель — это выражение, на которое нужно умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби, чтобы получить новый знаменатель. Величина дроби при этом не изменится.

1. Найдём дополнительный множитель

Для этого разделим новый знаменатель ($a^2 - 9a$) на исходный знаменатель ($a - 9$).

Сначала разложим выражение $a^2 - 9a$ на множители, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 - 9a = a(a - 9)$

Теперь выполним деление:

$\frac{a^2 - 9a}{a - 9} = \frac{a(a - 9)}{a - 9} = a$

Таким образом, дополнительный множитель равен $a$.

2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель

Исходная дробь: $\frac{a + 5}{a - 9}$

Умножим числитель и знаменатель на $a$:

$\frac{(a + 5) \cdot a}{(a - 9) \cdot a}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя распределительное свойство умножения:

Числитель: $(a + 5) \cdot a = a \cdot a + 5 \cdot a = a^2 + 5a$

Знаменатель: $(a - 9) \cdot a = a \cdot a - 9 \cdot a = a^2 - 9a$

В результате получаем новую дробь:

$\frac{a^2 + 5a}{a^2 - 9a}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $\frac{a^2 + 5a}{a^2 - 9a}$

5. Среди приведённых графиков укажите график функции $y = 3 - \frac{x}{|x|}$.

Чтобы найти соответствующий график для функции $y = 3 - \frac{x}{|x|}$, необходимо проанализировать ее поведение в зависимости от знака $x$.

Во-первых, отметим, что область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, так как в этой точке знаменатель дроби $|x|$ обращается в ноль. Это означает, что на графике в точке $x=0$ будет разрыв.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля $|x|$:

Если $x > 0$, то $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 3 - \frac{x}{x} = 3 - 1 = 2$.
Это означает, что для всех $x$ больше нуля (справа от оси $y$) график функции будет представлять собой горизонтальную линию на уровне $y=2$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:
$y = 3 - \frac{x}{-x} = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$.
Это означает, что для всех $x$ меньше нуля (слева от оси $y$) график функции будет представлять собой горизонтальную линию на уровне $y=4$.

Таким образом, график функции состоит из двух частей: луча $y=4$ при $x < 0$ и луча $y=2$ при $x > 0$. В точке $x=0$ функция не определена, поэтому на концах лучей должны быть выколотые (пустые) точки.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:
1) неверно, показана сплошная линия $y=2$, которая определена при $x=0$.
2) неверно, показана только часть графика для $x>0$.
3) неверно, значения $y$ для положительных и отрицательных $x$ перепутаны местами.
4) верно. Слева от оси $y$ (при $x < 0$) линия находится на уровне $y=4$. Справа от оси $y$ (при $x > 0$) линия находится на уровне $y=2$. В точках $(0, 4)$ и $(0, 2)$ изображены выколотые точки, что соответствует разрыву функции при $x=0$.

Ответ: 4