Страница 101 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\frac{3+2a}{a}$, если $a=0,3$?

1) 1,2

2) 12

3) 3

4) 30

Чтобы найти значение выражения при заданном значении переменной, необходимо подставить это значение в выражение и выполнить вычисления.

Дано выражение:

$$ \frac{3 + 2a}{a} $$

Подставим в него значение $a = 0,3$:

$$ \frac{3 + 2 \cdot 0,3}{0,3} $$

Вычислим значение по действиям:

1. Сначала выполним действия в числителе. Первым выполняется умножение:

$$ 2 \cdot 0,3 = 0,6 $$

2. Затем выполним сложение в числителе:

$$ 3 + 0,6 = 3,6 $$

3. Теперь разделим полученное значение числителя на знаменатель:

$$ \frac{3,6}{0,3} $$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, можно умножить и числитель, и знаменатель на 10:

$$ \frac{3,6 \cdot 10}{0,3 \cdot 10} = \frac{36}{3} $$

4. Выполним деление:

$$ 36 \div 3 = 12 $$

Таким образом, значение выражения при $a = 0,3$ равно 12. Это соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 12

2. Какая из приведённых пар значений переменных $a$ и $b$ является недопустимой для выражения $\frac{a^2 - 3ab + b^2}{a - 2b}$?

1) $a = 3, b = 1$

2) $a = 1, b = 0,5$

3) $a = 2, b = -0,5$

4) $a = -2, b = 1$

Недопустимыми значениями переменных для дроби $ \frac{a^2 - 3ab + b^2}{a - 2b} $ являются те, при которых её знаменатель равен нулю. Деление на ноль не определено.

Знаменатель данного выражения равен $a - 2b$. Найдем условие, при котором он обращается в нуль: $a - 2b = 0$ $a = 2b$

Теперь необходимо проверить каждую из предложенных пар значений $(a, b)$ и найти ту, которая удовлетворяет условию $a = 2b$.

1) a = 3, b = 1

Подставим значения в выражение для знаменателя: $a - 2b = 3 - 2 \cdot 1 = 3 - 2 = 1$.
Поскольку знаменатель $1 \ne 0$, эта пара значений является допустимой.

2) a = 1, b = 0,5

Подставим значения в выражение для знаменателя: $a - 2b = 1 - 2 \cdot 0,5 = 1 - 1 = 0$.
Поскольку знаменатель равен нулю, эта пара значений является недопустимой.

3) a = 2, b = -0,5

Подставим значения в выражение для знаменателя: $a - 2b = 2 - 2 \cdot (-0,5) = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$.
Поскольку знаменатель $3 \ne 0$, эта пара значений является допустимой.

4) a = -2, b = 1

Подставим значения в выражение для знаменателя: $a - 2b = -2 - 2 \cdot 1 = -2 - 2 = -4$.
Поскольку знаменатель $-4 \ne 0$, эта пара значений является допустимой.

Таким образом, единственная пара значений, которая является недопустимой для данного выражения, указана в пункте 2.

Ответ: 2

3. Сократите дробь $\frac{28a^8}{21a^4}$.

1) $\frac{4}{3a^4}$

2) $\frac{4a^4}{3}$

3) $\frac{4}{3a^2}$

4) $\frac{4a^2}{3}$

Для сокращения дроби $ \frac{28a^8}{21a^4} $ необходимо по отдельности сократить числовые коэффициенты и степени переменной.

1. Сокращаем числовые коэффициенты.
Коэффициенты в числителе и знаменателе — 28 и 21. Найдём их наибольший общий делитель (НОД).
Разложим числа на простые множители:
$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $
$ 21 = 3 \cdot 7 $
НОД(28, 21) = 7.
Сокращаем дробь $ \frac{28}{21} $ на 7:
$ \frac{28}{21} = \frac{28 \div 7}{21 \div 7} = \frac{4}{3} $

2. Сокращаем степени переменной.
Для сокращения $ \frac{a^8}{a^4} $ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.
Применяя это правило, получаем:
$ \frac{a^8}{a^4} = a^{8-4} = a^4 $

3. Собираем результат.
Теперь объединим сокращенные части числового коэффициента и переменной:
$ \frac{28a^8}{21a^4} = \frac{4}{3} \cdot a^4 = \frac{4a^4}{3} $

Среди предложенных вариантов этот результат соответствует варианту под номером 2.

Ответ: $ \frac{4a^4}{3} $

4. Приведите дробь $\frac{c-3}{c+2}$ к знаменателю $c^2 + 2c$.

1) $\frac{c^2 - 3c}{c^2 + 2c}$

2) $\frac{c-3}{c^2 + 2c}$

3) $\frac{c}{c^2 + 2c}$

4) $\frac{c^2 - 3}{c^2 + 2c}$

Для того чтобы привести дробь $\frac{c-3}{c+2}$ к знаменателю $c^2 + 2c$, необходимо найти дополнительный множитель, на который следует умножить и числитель, и знаменатель исходной дроби.

1. Разложим на множители новый знаменатель.

Вынесем общий множитель $c$ за скобки в выражении $c^2 + 2c$:

$c^2 + 2c = c(c+2)$

2. Найдем дополнительный множитель.

Сравним новый знаменатель $c(c+2)$ со старым знаменателем $(c+2)$. Чтобы получить новый знаменатель из старого, нужно домножить его на $c$. Таким образом, дополнительный множитель равен $c$.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель.

Согласно основному свойству дроби, умножаем числитель $(c-3)$ и знаменатель $(c+2)$ на $c$:

$\frac{c-3}{c+2} = \frac{(c-3) \cdot c}{(c+2) \cdot c} = \frac{c \cdot c - 3 \cdot c}{c \cdot c + 2 \cdot c} = \frac{c^2 - 3c}{c^2 + 2c}$

В результате мы привели дробь к требуемому знаменателю. Полученный результат $\frac{c^2 - 3c}{c^2 + 2c}$ соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1) $\frac{c^2 - 3c}{c^2 + 2c}$

5. Среди приведённых графиков укажите график функции $y = \frac{2x}{|x|}$.

1) y x 0 2 -2

2) y x 0 2

3) y x 0 2 -2

4) y x 0 -2

Для того чтобы определить, какой из приведённых графиков соответствует функции $y = \frac{2x}{|x|}$, необходимо проанализировать данную функцию.

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель $|x|$ не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Это означает, что функция не определена в точке $x=0$, и на графике в этой точке должен быть разрыв, который обычно изображается выколотой (пустой) точкой.

Теперь раскроем модуль в знаменателе, рассмотрев два случая.

1. При $x > 0$

Если $x$ — положительное число, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции: $y = \frac{2x}{x}$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$, получив: $y = 2$

Таким образом, для всех $x > 0$ (правее оси $y$) график функции представляет собой горизонтальный луч на уровне $y=2$.

2. При $x < 0$

Если $x$ — отрицательное число, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции: $y = \frac{2x}{-x}$

Сократив дробь на $x$, получаем: $y = -2$

Таким образом, для всех $x < 0$ (левее оси $y$) график функции представляет собой горизонтальный луч на уровне $y=-2$.

Итак, искомый график состоит из двух частей: горизонтального луча $y=2$ для $x>0$ и горизонтального луча $y=-2$ для $x<0$. На оси $y$ (при $x=0$) должны быть выколотые точки, показывающие, что функция там не определена.

Теперь сравним этот вывод с предложенными вариантами:

График 1: изображает $y=2$ при $x<0$ и $y=-2$ при $x>0$, что неверно.

График 2: изображает $y=2$ для всех $x \neq 0$, что неверно.

График 3: изображает $y=2$ при $x>0$ и $y=-2$ при $x<0$, с выколотыми точками при $x=0$. Это полностью соответствует нашему анализу.

График 4: изображает $y=-2$ для всех $x \neq 0$, что неверно.

Следовательно, правильный график представлен под номером 3.

Ответ: 3