Страница 108 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $ \frac{ax + bx}{a^2 + ab} $

Б) $ \frac{b^2 - ab}{ax - bx} $

В) $ \frac{ax - ay}{x^2 - xy} $

Тождественно равное выражение

1) $ \frac{a}{x} $

2) $ \frac{x}{a} $

3) $ \frac{b}{x} $

4) $ -\frac{b}{x} $

5) $ -\frac{x}{a} $

Для установления соответствия необходимо упростить каждое выражение из левого столбца.

А)

Упростим выражение $\frac{ax + bx}{a^2 + ab}$.

1. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ax + bx = x(a + b)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 + ab = a(a + b)$.

3. Получим дробь: $\frac{x(a + b)}{a(a + b)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$: $\frac{x}{a}$.

Данное выражение соответствует варианту 2).

Ответ: 2

Б)

Упростим выражение $\frac{b^2 - ab}{ax - bx}$.

1. В числителе вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b^2 - ab = b(b - a)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ax - bx = x(a - b)$.

3. Получим дробь: $\frac{b(b - a)}{x(a - b)}$.

4. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$. Подставим это в числитель: $\frac{-b(a - b)}{x(a - b)}$.

5. Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$: $-\frac{b}{x}$.

Данное выражение соответствует варианту 4).

Ответ: 4

В)

Упростим выражение $\frac{ax - ay}{x^2 - xy}$.

1. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $ax - ay = a(x - y)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - xy = x(x - y)$.

3. Получим дробь: $\frac{a(x - y)}{x(x - y)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$: $\frac{a}{x}$.

Данное выражение соответствует варианту 1).

Ответ: 1

7. Сократите дробь $\frac{4ab}{4a^2 - ab}$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, а затем сократить общие множители.

Дана дробь: $\frac{4ab}{4a^2 - ab}$.

Числитель дроби, $4ab$, уже представлен в виде произведения множителей.

Знаменатель дроби, $4a^2 - ab$, можно упростить, вынеся за скобки общий множитель. Оба члена выражения ($4a^2$ и $ab$) содержат множитель $a$. Вынесем $a$ за скобки:

$4a^2 - ab = a \cdot 4a - a \cdot b = a(4a - b)$

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель обратно в исходную дробь:

$\frac{4ab}{a(4a - b)}$

Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $a$, который присутствует и в числителе, и в знаменателе. Сокращение возможно при условии, что $a \neq 0$ и $4a - b \neq 0$.

$\frac{4\cancel{a}b}{\cancel{a}(4a - b)} = \frac{4b}{4a - b}$

Дальнейшее сокращение невозможно, так как в числителе и знаменателе нет больше общих множителей.

Ответ: $\frac{4b}{4a - b}$

8. Найдите значение выражения $ \frac{b^2 - 64}{3b^2 + 24b} $, если $ b = -4 $.

Для того чтобы найти значение выражения, сначала упростим его.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $b^2 - 64$ представляет собой разность квадратов. Используем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$b^2 - 64 = b^2 - 8^2 = (b - 8)(b + 8)$

В знаменателе $3b^2 + 24b$ вынесем общий множитель $3b$ за скобки:$3b^2 + 24b = 3b(b + 8)$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:$\frac{b^2 - 64}{3b^2 + 24b} = \frac{(b - 8)(b + 8)}{3b(b + 8)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b + 8)$. Область допустимых значений исходного выражения $3b^2 + 24b \neq 0$, то есть $3b(b+8) \neq 0$, откуда $b \neq 0$ и $b \neq -8$. Так как по условию $b = -4$, сокращение возможно.

После сокращения получаем:$\frac{b - 8}{3b}$

Теперь подставим значение $b = -4$ в упрощенное выражение:$\frac{-4 - 8}{3 \cdot (-4)} = \frac{-12}{-12} = 1$

Ответ: 1

9. Выполните вычитание: $ \frac{72}{m-9} - \frac{8m}{m-9} $

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним. Знаменатели в данном выражении одинаковы и равны $m-9$.

$\frac{72}{m-9} - \frac{8m}{m-9} = \frac{72 - 8m}{m-9}$

Теперь упростим полученную дробь. В числителе вынесем за скобки общий множитель 8:

$\frac{8(9 - m)}{m-9}$

Мы видим, что выражения в скобках в числителе $(9 - m)$ и в знаменателе $(m-9)$ являются противоположными, так как $9 - m = -(m - 9)$.

Подставим это в нашу дробь:

$\frac{8 \cdot (-(m-9))}{m-9} = \frac{-8(m-9)}{m-9}$

При условии, что $m-9 \neq 0$ (то есть $m \neq 9$), мы можем сократить дробь на общий множитель $(m-9)$:

$\frac{-8\cancel{(m-9)}}{\cancel{m-9}} = -8$

Ответ: $-8$

10. Выполните сложение: $\frac{7m}{5m-20} + \frac{4m}{12-3m}$.

Чтобы выполнить сложение алгебраических дробей, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого выполним следующие шаги:

1. Разложим знаменатели на множители

Рассмотрим знаменатель первой дроби: $5m - 20$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5m - 20 = 5(m - 4)$

Рассмотрим знаменатель второй дроби: $12 - 3m$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$12 - 3m = 3(4 - m)$

Чтобы сделать множители в скобках одинаковыми, вынесем $-1$ из скобки во втором знаменателе:

$3(4 - m) = -3(m - 4)$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{7m}{5(m - 4)} + \frac{4m}{-3(m - 4)}$

Знак минус из знаменателя второй дроби можно вынести перед дробью:

$\frac{7m}{5(m - 4)} - \frac{4m}{3(m - 4)}$

2. Найдем общий знаменатель и приведем дроби к нему

Знаменатели дробей — $5(m - 4)$ и $3(m - 4)$. Наименьший общий знаменатель для них будет $3 \cdot 5 \cdot (m - 4) = 15(m - 4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен $3$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $5$. Умножим числители и знаменатели дробей на их дополнительные множители:

$\frac{7m \cdot 3}{5(m - 4) \cdot 3} - \frac{4m \cdot 5}{3(m - 4) \cdot 5} = \frac{21m}{15(m - 4)} - \frac{20m}{15(m - 4)}$

3. Выполним вычитание дробей

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, вычтем их числители:

$\frac{21m - 20m}{15(m - 4)} = \frac{m}{15(m - 4)}$

Ответ: $\frac{m}{15(m - 4)}$

11. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{18x^2}{9x+1} - 2x $.

Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все его компоненты к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражения $\frac{18x^2}{9x+1} - 2x$ является $9x + 1$.

1. Представим $2x$ в виде дроби со знаменателем $9x + 1$. Для этого умножим и разделим $2x$ на $9x+1$:

$2x = \frac{2x}{1} = \frac{2x(9x+1)}{9x+1}$

2. Раскроем скобки в числителе полученной дроби:

$\frac{2x \cdot 9x + 2x \cdot 1}{9x+1} = \frac{18x^2 + 2x}{9x+1}$

3. Теперь вернемся к исходному выражению и выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{18x^2}{9x+1} - \frac{18x^2 + 2x}{9x+1} = \frac{18x^2 - (18x^2 + 2x)}{9x+1}$

4. Раскроем скобки в числителе. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$\frac{18x^2 - 18x^2 - 2x}{9x+1}$

5. Приведем подобные слагаемые в числителе:

$18x^2 - 18x^2 - 2x = -2x$

6. В результате получаем следующую дробь:

$\frac{-2x}{9x+1}$

Знак минус можно вынести перед всей дробью:

$-\frac{2x}{9x+1}$

Ответ: $-\frac{2x}{9x+1}$.

12. Найдите значение выражения $ \frac{1}{b} - \frac{b^2 - 24}{8b} + \frac{b}{8} $, если $ b = \frac{1}{4} $.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. В данном случае наименьший общий знаменатель равен $8b$.

$\frac{1}{b} - \frac{b^2 - 24}{8b} + \frac{b}{8}$

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $8$, а третьей дроби – на $b$:

$\frac{1 \cdot 8}{b \cdot 8} - \frac{b^2 - 24}{8b} + \frac{b \cdot b}{8 \cdot b} = \frac{8}{8b} - \frac{b^2 - 24}{8b} + \frac{b^2}{8b}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним действия с числителями:

$\frac{8 - (b^2 - 24) + b^2}{8b}$

Раскроем скобки в числителе. Обратите внимание, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки у всех слагаемых в её числителе:

$\frac{8 - b^2 + 24 + b^2}{8b}$

Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $-b^2$ и $b^2$ взаимно уничтожаются:

$\frac{8 + 24}{8b} = \frac{32}{8b}$

Сократим полученную дробь на 8:

$\frac{32}{8b} = \frac{4}{b}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $b = \frac{1}{4}$:

$\frac{4}{b} = \frac{4}{\frac{1}{4}}$

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$4 \div \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{4}{1} = 16$

Ответ: 16