Страница 109 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению $\frac{ab}{c} \cdot \frac{a}{b}$?

1) $\frac{2a}{c}$

2) $\frac{a^2}{c}$

3) $\frac{a^2b}{c}$

4) $\frac{b^2}{c}$

Чтобы найти, какая из предложенных дробей тождественно равна произведению $\frac{ab}{c} \cdot \frac{a}{b}$, необходимо выполнить умножение и упростить полученное выражение.

Правило умножения дробей гласит, что для того чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Результат первого произведения записать в числитель новой дроби, а результат второго — в знаменатель.

Применим это правило к нашему выражению:

$\frac{ab}{c} \cdot \frac{a}{b} = \frac{ab \cdot a}{c \cdot b}$

Теперь упростим числитель, перемножив переменные:

$ab \cdot a = a \cdot a \cdot b = a^2b$

Таким образом, наша дробь принимает вид:

$\frac{a^2b}{cb}$

Мы видим, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $b$. Мы можем сократить дробь на этот множитель (при условии, что $b \neq 0$ и $c \neq 0$, что предполагается в задачах такого типа).

$\frac{a^2 \cdot b}{c \cdot b} = \frac{a^2}{c}$

Сравним полученный результат $\frac{a^2}{c}$ с предложенными вариантами:

1) $\frac{2a}{c}$

2) $\frac{a^2}{c}$

3) $\frac{a^2b}{c}$

4) $\frac{b^2}{c}$

Результат нашего упрощения совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $\frac{a^2}{c}$

2. Выполните умножение: $5a^2b^5 \cdot \frac{3}{7ab}$.

1) $ab^4$
2) $\frac{5ab^4}{7}$
3) $\frac{15ab^4}{7}$
4) $\frac{15b^4}{7a}$

Чтобы выполнить умножение, необходимо представить одночлен $5a^2b^5$ в виде дроби и затем перемножить его с дробью $\frac{3}{7ab}$.

Запишем одночлен как дробь со знаменателем 1:

$5a^2b^5 = \frac{5a^2b^5}{1}$

Теперь выполним умножение дробей. Для этого нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{5a^2b^5}{1} \cdot \frac{3}{7ab} = \frac{5a^2b^5 \cdot 3}{1 \cdot 7ab} = \frac{15a^2b^5}{7ab}$

Следующим шагом упростим полученное выражение, сократив дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на общие множители. Воспользуемся свойством степени $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{15a^2b^5}{7ab} = \frac{15}{7} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^5}{b} = \frac{15}{7} \cdot a^{2-1} \cdot b^{5-1} = \frac{15}{7} \cdot a^1 \cdot b^4 = \frac{15ab^4}{7}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{15ab^4}{7}$

3. Выполните деление: $(\frac{x}{y^2})^3 : (\frac{x^2}{y})^2$

1) $\frac{1}{xy^3}$

2) $\frac{1}{xy^4}$

3) $xy^3$

4) $xy^4$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия со степенями и дробями. Исходное выражение:

$(\frac{x}{y^2})^3 : (\frac{x^2}{y})^2$

1. Сначала упростим каждый член выражения, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Для первого члена:

$(\frac{x}{y^2})^3 = \frac{x^3}{(y^2)^3} = \frac{x^3}{y^{2 \cdot 3}} = \frac{x^3}{y^6}$

Для второго члена:

$(\frac{x^2}{y})^2 = \frac{(x^2)^2}{y^2} = \frac{x^{2 \cdot 2}}{y^2} = \frac{x^4}{y^2}$

2. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$\frac{x^3}{y^6} : \frac{x^4}{y^2}$

3. Выполним деление дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{x^3}{y^6} \cdot \frac{y^2}{x^4} = \frac{x^3 y^2}{y^6 x^4}$

4. Сократим полученную дробь, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^3}{x^4} \cdot \frac{y^2}{y^6} = x^{3-4} \cdot y^{2-6} = x^{-1} \cdot y^{-4}$

5. Преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{-1} \cdot y^{-4} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^4} = \frac{1}{xy^4}$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: $\frac{1}{xy^4}$

4. Упростите выражение $\frac{2x+10}{x^2-3x} : \frac{6x+30}{x-3}$

1) $3x$

2) $\frac{3}{x}$

3) $\frac{1}{3x}$

4) $\frac{x}{3}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление рациональных дробей.

Исходное выражение:

$$ \frac{2x + 10}{x^2 - 3x} : \frac{6x + 30}{x - 3} $$

Первый шаг — заменяем деление на умножение, для этого переворачиваем вторую дробь (делитель):

$$ \frac{2x + 10}{x^2 - 3x} \cdot \frac{x - 3}{6x + 30} $$

Второй шаг — раскладываем числители и знаменатели на множители для последующего сокращения.

Числитель первой дроби: $2x + 10 = 2(x + 5)$ (вынесли общий множитель 2).

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 3x = x(x - 3)$ (вынесли общий множитель $x$).

Знаменатель второй дроби: $6x + 30 = 6(x + 5)$ (вынесли общий множитель 6).

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в нашу формулу:

$$ \frac{2(x + 5)}{x(x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{6(x + 5)} $$

Третий шаг — сокращаем общие множители в числителе и знаменателе. Мы видим, что множители $(x + 5)$ и $(x - 3)$ присутствуют и в числителе, и в знаменателе.

$$ \frac{2 \cdot (x+5) \cdot (x-3)}{x \cdot (x-3) \cdot 6 \cdot (x+5)} $$

После сокращения этих множителей получаем:

$$ \frac{2}{6x} $$

Четвертый шаг — упрощаем полученную числовую дробь $\frac{2}{6}$, разделив числитель и знаменатель на 2:

$$ \frac{2}{6x} = \frac{1}{3x} $$

Таким образом, упрощенное выражение равно $\frac{1}{3x}$, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $\frac{1}{3x}$

5. Какому числу при всех допустимых значениях а равно значение выражения

$\left(\frac{20a}{a^2-100} - \frac{10}{a-10}\right) : \left(\frac{2a+10}{a+10} - 2\right)$?

1) 1

2) -1

3) 10

4) -10

Для решения задачи необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Будем выполнять действия по порядку, сначала в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left(\frac{20a}{a^2 - 100} - \frac{10}{a - 10}\right) $.

Знаменатель первой дроби, $a^2 - 100$, является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2 - 100 = (a - 10)(a + 10)$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(a - 10)(a + 10)$:

$ \frac{20a}{(a - 10)(a + 10)} - \frac{10(a + 10)}{(a - 10)(a + 10)} = \frac{20a - 10(a + 10)}{(a - 10)(a + 10)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{20a - 10a - 100}{(a - 10)(a + 10)} = \frac{10a - 100}{(a - 10)(a + 10)} $.

Вынесем общий множитель 10 в числителе: $ \frac{10(a - 10)}{(a - 10)(a + 10)} $.

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a - 10)$ (при условии $a \neq 10$):

$ \frac{10}{a + 10} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{2a + 10}{a + 10} - 2\right) $.

Приведем к общему знаменателю $(a + 10)$:

$ \frac{2a + 10}{a + 10} - \frac{2(a + 10)}{a + 10} = \frac{2a + 10 - 2(a + 10)}{a + 10} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{2a + 10 - 2a - 20}{a + 10} = \frac{-10}{a + 10} $.

3. Наконец, выполним деление результатов, полученных после упрощения выражений в скобках:

$ \left(\frac{10}{a + 10}\right) : \left(\frac{-10}{a + 10}\right) $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{10}{a + 10} \cdot \frac{a + 10}{-10} $.

Сократим дробь на $(a + 10)$ (при условии $a \neq -10$) и на 10:

$ \frac{1}{-1} = -1 $.

Таким образом, значение выражения не зависит от переменной $a$ и равно -1 при всех допустимых значениях $a$.

Ответ: -1

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $\left(a - \frac{a}{a - 4}\right) : \frac{a^2 - 5a}{a^2 - 16}$

Б) $\left(\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4}\right) : \frac{8}{4 - a}$

В) $\left(a + \frac{4a}{a - 4}\right) : \frac{a^2}{a^2 - 8a + 16}$

Тождественно равное выражение

1) $a + 4$

2) $a - 4$

3) $\frac{1}{a + 4}$

4) $\frac{1}{a - 4}$

5) $4 - a$

А)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a - 4$:
$a - \frac{a}{a - 4} = \frac{a(a - 4)}{a - 4} - \frac{a}{a - 4} = \frac{a^2 - 4a - a}{a - 4} = \frac{a^2 - 5a}{a - 4}$.

Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, и разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$:
$\frac{a^2 - 5a}{a - 4} : \frac{a^2 - 5a}{a^2 - 16} = \frac{a^2 - 5a}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{a^2 - 5a}$.

Сократим одинаковые множители $(a^2 - 5a)$ и $(a - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0, a \neq 5, a \neq 4$):
$\frac{\cancel{a^2 - 5a}}{\cancel{a - 4}} \cdot \frac{(\cancel{a - 4})(a + 4)}{\cancel{a^2 - 5a}} = a + 4$.

Полученное выражение соответствует варианту 1) из правого столбца.

Ответ: 1

Б)

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a + 4)(a - 4)$:
$\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4} = \frac{1 \cdot (a - 4)}{(a + 4)(a - 4)} - \frac{1 \cdot (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{(a - 4) - (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{a - 4 - a - 4}{a^2 - 16} = \frac{-8}{a^2 - 16}$.

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение и учтем, что $4 - a = -(a - 4)$:
$\frac{-8}{a^2 - 16} : \frac{8}{4 - a} = \frac{-8}{a^2 - 16} \cdot \frac{4 - a}{8} = \frac{-8}{(a - 4)(a + 4)} \cdot \frac{-(a - 4)}{8}$.

Сократим одинаковые множители 8 и $(a - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 4, a \neq -4$):
$\frac{-1}{(a + 4)} \cdot (-1) = \frac{1}{a + 4}$.

Полученное выражение соответствует варианту 3) из правого столбца.

Ответ: 3

В)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a - 4$:
$a + \frac{4a}{a - 4} = \frac{a(a - 4)}{a - 4} + \frac{4a}{a - 4} = \frac{a^2 - 4a + 4a}{a - 4} = \frac{a^2}{a - 4}$.

Теперь выполним деление. Свернем выражение $a^2 - 8a + 16$ в знаменателе второй дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$.

Выполним умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2}{a - 4} : \frac{a^2}{(a - 4)^2} = \frac{a^2}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4)^2}{a^2}$.

Сократим одинаковые множители $a^2$ и $(a - 4)$ (при условии, что $a \neq 0, a \neq 4$):
$\frac{\cancel{a^2}}{\cancel{a - 4}} \cdot \frac{(a - 4)^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2}} = a - 4$.

Полученное выражение соответствует варианту 2) из правого столбца.

Ответ: 2