Номер 6, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $\left(a - \frac{a}{a - 4}\right) : \frac{a^2 - 5a}{a^2 - 16}$

Б) $\left(\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4}\right) : \frac{8}{4 - a}$

В) $\left(a + \frac{4a}{a - 4}\right) : \frac{a^2}{a^2 - 8a + 16}$

Тождественно равное выражение

1) $a + 4$

2) $a - 4$

3) $\frac{1}{a + 4}$

4) $\frac{1}{a - 4}$

5) $4 - a$

А)

Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a - 4$:
$a - \frac{a}{a - 4} = \frac{a(a - 4)}{a - 4} - \frac{a}{a - 4} = \frac{a^2 - 4a - a}{a - 4} = \frac{a^2 - 5a}{a - 4}$.

Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь, и разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$:
$\frac{a^2 - 5a}{a - 4} : \frac{a^2 - 5a}{a^2 - 16} = \frac{a^2 - 5a}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4)(a + 4)}{a^2 - 5a}$.

Сократим одинаковые множители $(a^2 - 5a)$ и $(a - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0, a \neq 5, a \neq 4$):
$\frac{\cancel{a^2 - 5a}}{\cancel{a - 4}} \cdot \frac{(\cancel{a - 4})(a + 4)}{\cancel{a^2 - 5a}} = a + 4$.

Полученное выражение соответствует варианту 1) из правого столбца.

Ответ: 1

Б)

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a + 4)(a - 4)$:
$\frac{1}{a + 4} - \frac{1}{a - 4} = \frac{1 \cdot (a - 4)}{(a + 4)(a - 4)} - \frac{1 \cdot (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{(a - 4) - (a + 4)}{(a + 4)(a - 4)} = \frac{a - 4 - a - 4}{a^2 - 16} = \frac{-8}{a^2 - 16}$.

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение и учтем, что $4 - a = -(a - 4)$:
$\frac{-8}{a^2 - 16} : \frac{8}{4 - a} = \frac{-8}{a^2 - 16} \cdot \frac{4 - a}{8} = \frac{-8}{(a - 4)(a + 4)} \cdot \frac{-(a - 4)}{8}$.

Сократим одинаковые множители 8 и $(a - 4)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 4, a \neq -4$):
$\frac{-1}{(a + 4)} \cdot (-1) = \frac{1}{a + 4}$.

Полученное выражение соответствует варианту 3) из правого столбца.

Ответ: 3

В)

Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a - 4$:
$a + \frac{4a}{a - 4} = \frac{a(a - 4)}{a - 4} + \frac{4a}{a - 4} = \frac{a^2 - 4a + 4a}{a - 4} = \frac{a^2}{a - 4}$.

Теперь выполним деление. Свернем выражение $a^2 - 8a + 16$ в знаменателе второй дроби по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$.

Выполним умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2}{a - 4} : \frac{a^2}{(a - 4)^2} = \frac{a^2}{a - 4} \cdot \frac{(a - 4)^2}{a^2}$.

Сократим одинаковые множители $a^2$ и $(a - 4)$ (при условии, что $a \neq 0, a \neq 4$):
$\frac{\cancel{a^2}}{\cancel{a - 4}} \cdot \frac{(a - 4)^{\cancel{2}}}{\cancel{a^2}} = a - 4$.

Полученное выражение соответствует варианту 2) из правого столбца.

Ответ: 2