Номер 5, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Какому числу при всех допустимых значениях а равно значение выражения

$\left(\frac{20a}{a^2-100} - \frac{10}{a-10}\right) : \left(\frac{2a+10}{a+10} - 2\right)$?

1) 1

2) -1

3) 10

4) -10

Для решения задачи необходимо упростить данное алгебраическое выражение. Будем выполнять действия по порядку, сначала в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первых скобках: $ \left(\frac{20a}{a^2 - 100} - \frac{10}{a - 10}\right) $.

Знаменатель первой дроби, $a^2 - 100$, является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $a^2 - 100 = (a - 10)(a + 10)$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(a - 10)(a + 10)$:

$ \frac{20a}{(a - 10)(a + 10)} - \frac{10(a + 10)}{(a - 10)(a + 10)} = \frac{20a - 10(a + 10)}{(a - 10)(a + 10)} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{20a - 10a - 100}{(a - 10)(a + 10)} = \frac{10a - 100}{(a - 10)(a + 10)} $.

Вынесем общий множитель 10 в числителе: $ \frac{10(a - 10)}{(a - 10)(a + 10)} $.

Сократим полученную дробь на общий множитель $(a - 10)$ (при условии $a \neq 10$):

$ \frac{10}{a + 10} $.

2. Упростим выражение во вторых скобках: $ \left(\frac{2a + 10}{a + 10} - 2\right) $.

Приведем к общему знаменателю $(a + 10)$:

$ \frac{2a + 10}{a + 10} - \frac{2(a + 10)}{a + 10} = \frac{2a + 10 - 2(a + 10)}{a + 10} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{2a + 10 - 2a - 20}{a + 10} = \frac{-10}{a + 10} $.

3. Наконец, выполним деление результатов, полученных после упрощения выражений в скобках:

$ \left(\frac{10}{a + 10}\right) : \left(\frac{-10}{a + 10}\right) $.

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{10}{a + 10} \cdot \frac{a + 10}{-10} $.

Сократим дробь на $(a + 10)$ (при условии $a \neq -10$) и на 10:

$ \frac{1}{-1} = -1 $.

Таким образом, значение выражения не зависит от переменной $a$ и равно -1 при всех допустимых значениях $a$.

Ответ: -1