Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $\frac{4 + 3b}{b}$, если $b = 0,4$?

1) 4

2) 0,4

3) 1,3

4) 13

1. Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить заданное значение $b = 0,4$ в выражение $\frac{4 + 3b}{b}$.

Выполним подстановку:

$\frac{4 + 3 \cdot 0,4}{0,4}$

Сначала вычислим значение числителя. Согласно порядку действий, первым выполняется умножение:

$3 \cdot 0,4 = 1,2$

Затем выполним сложение:

$4 + 1,2 = 5,2$

Теперь выражение принимает вид:

$\frac{5,2}{0,4}$

Чтобы разделить десятичные дроби, можно домножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятой:

$\frac{5,2 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{52}{4}$

Выполним деление:

$52 : 4 = 13$

Следовательно, значение выражения при $b=0,4$ равно 13.

Ответ: 13

2. Какая из приведённых пар значений переменных $a$ и $b$ является недопустимой для выражения $\frac{a^3 + 2ab - b^2}{2a + b}$?

1) $a = 2, b = -3$

2) $a = 1,5, b = -3,5$

3) $a = -2,5, b = 5$

4) $a = -1, b = 3$

Недопустимыми значениями переменных для алгебраической дроби являются те, при которых ее знаменатель обращается в нуль, так как операция деления на ноль не определена.

Знаменатель данного выражения $\frac{a^3 + 2ab - b^2}{2a + b}$ равен $2a + b$.

Чтобы найти недопустимую пару значений, необходимо проверить, какая из предложенных пар обращает знаменатель $2a + b$ в ноль.

1) $a = 2, b = -3$
Подставим значения в знаменатель: $2a + b = 2 \cdot 2 + (-3) = 4 - 3 = 1$.
Знаменатель не равен нулю ($1 \neq 0$), следовательно, пара значений является допустимой.

2) $a = 1,5, b = -3,5$
Подставим значения в знаменатель: $2a + b = 2 \cdot 1,5 + (-3,5) = 3 - 3,5 = -0,5$.
Знаменатель не равен нулю ($-0,5 \neq 0$), следовательно, пара значений является допустимой.

3) $a = -2,5, b = 5$
Подставим значения в знаменатель: $2a + b = 2 \cdot (-2,5) + 5 = -5 + 5 = 0$.
Знаменатель равен нулю, следовательно, данная пара значений является недопустимой для выражения.

4) $a = -1, b = 3$
Подставим значения в знаменатель: $2a + b = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.
Знаменатель не равен нулю ($1 \neq 0$), следовательно, пара значений является допустимой.

Ответ: 3.

3. Сократите дробь $ \frac{32m^{10}}{24m^5} $.

1) $ \frac{4m^5}{3} $

2) $ \frac{4m^2}{3} $

3) $ \frac{4}{3m^5} $

4) $ \frac{4}{3m^2} $

Чтобы сократить дробь $\frac{32m^{10}}{24m^5}$, необходимо сократить отдельно числовые коэффициенты и отдельно степени переменной.

1. Сократим числовые коэффициенты 32 и 24. Найдем их наибольший общий делитель (НОД). НОД(32, 24) = 8. Разделим числитель и знаменатель на 8: $\frac{32}{24} = \frac{32 \div 8}{24 \div 8} = \frac{4}{3}$.

2. Сократим переменную часть $\frac{m^{10}}{m^5}$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^n}{a^k} = a^{n-k}$: $\frac{m^{10}}{m^5} = m^{10-5} = m^5$.

3. Объединим полученные результаты. Результат сокращения дроби: $\frac{4}{3} \cdot m^5 = \frac{4m^5}{3}$.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под номером 1.

Ответ: 1) $\frac{4m^5}{3}$

4. Приведите дробь $\frac{x-7}{x+6}$ к знаменателю $x^2 + 6x$.

1) $\frac{x^2 - 7}{x^2 + 6x}$

2) $\frac{x^2 + 7x}{x^2 + 6x}$

3) $\frac{x^2 - 7x}{x^2 + 6x}$

4) $\frac{x-7}{x^2 + 6x}$

Для того чтобы привести дробь $\frac{x-7}{x+6}$ к знаменателю $x^2 + 6x$, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого сначала разложим новый знаменатель на множители.

1. Разложим на множители новый знаменатель $x^2 + 6x$:

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 + 6x = x(x+6)$

2. Найдем дополнительный множитель:

Для этого разделим новый знаменатель на исходный:

$\frac{x^2 + 6x}{x+6} = \frac{x(x+6)}{x+6} = x$

Таким образом, дополнительный множитель равен $x$.

3. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на дополнительный множитель:

Чтобы значение дроби не изменилось, нужно умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение (дополнительный множитель).

$\frac{x-7}{x+6} = \frac{(x-7) \cdot x}{(x+6) \cdot x} = \frac{x^2 - 7x}{x^2 + 6x}$

Полученная дробь соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: $\frac{x^2 - 7x}{x^2 + 6x}$

5. Среди приведённых графиков укажите график функции $y = - \frac{3|x|}{x}$.

1) 2) 3) 4)

Чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = -\frac{3|x|}{x}$, необходимо рассмотреть поведение функции в зависимости от знака переменной $x$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Это означает, что в точке с абсциссой $x=0$ график функции будет иметь разрыв. На всех предложенных графиках это показано выколотыми точками на оси $y$.

Раскроем модуль $|x|$ для двух случаев:

1. При $x > 0$
Если $x$ — положительное число, то по определению модуля $|x| = x$. Подставим это выражение в исходную формулу функции:
$y = -\frac{3 \cdot x}{x}$
Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$:
$y = -3$
Следовательно, для всех $x > 0$ (в правой координатной полуплоскости) график функции представляет собой луч, лежащий на прямой $y = -3$.

2. При $x < 0$
Если $x$ — отрицательное число, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставим это выражение в формулу функции:
$y = -\frac{3 \cdot (-x)}{x} = -\frac{-3x}{x} = \frac{3x}{x}$
Так как $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$:
$y = 3$
Следовательно, для всех $x < 0$ (в левой координатной полуплоскости) график функции представляет собой луч, лежащий на прямой $y = 3$.

Таким образом, искомый график состоит из двух частей:
- луча $y=3$ при $x < 0$;
- луча $y=-3$ при $x > 0$.
Точки $(0, 3)$ и $(0, -3)$ выколоты.

Среди предложенных вариантов этим условиям удовлетворяет график под номером 4.

Ответ: 4