Страница 97 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь планировал изготовить 140 деталей за определённый срок. Однако, изготовляя в час на 6 деталей больше, чем планировал, он закончил работу на 3 ч раньше.

Пусть токарь планировал изготавливать $x$ деталей в час. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3$

2) $\frac{140}{x + 6} - \frac{140}{x} = 3$

3) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x - 6} = 3$

4) $\frac{140}{x - 6} - \frac{140}{x} = 3$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является правильной математической моделью для описанной ситуации, необходимо последовательно перевести условия задачи на язык математики.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать в час (плановая производительность).

Общий объем работы составляет 140 деталей.

Время, которое токарь планировал потратить на всю работу, можно выразить как отношение общего объема работы к плановой производительности:

Плановое время = $ \frac{140}{x} $ часов.

По условию, токарь увеличил свою производительность на 6 деталей в час. Следовательно, его фактическая производительность составила:

Фактическая производительность = $x + 6$ деталей в час.

Фактическое время, затраченное на изготовление 140 деталей с новой производительностью, равно:

Фактическое время = $ \frac{140}{x + 6} $ часов.

В задаче указано, что токарь закончил работу на 3 часа раньше. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 3 часа. Поскольку производительность увеличилась, фактическое время меньше планового. Таким образом, мы должны из большего времени (планового) вычесть меньшее (фактическое), чтобы получить положительную разницу в 3 часа.

Плановое время – Фактическое время = 3

Подставим полученные выражения в это равенство:

$ \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3 $

Теперь проанализируем предложенные в задаче варианты уравнений.

1) $ \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3 $

Это уравнение в точности соответствует нашей модели. Из планового времени ($ \frac{140}{x} $) вычитается фактическое время ($ \frac{140}{x+6} $), и разница равна 3 часам. Это правильное уравнение.

2) $ \frac{140}{x + 6} - \frac{140}{x} = 3 $

Это уравнение неверно, так как в нем из фактического (меньшего) времени вычитается плановое (большее), что должно было бы дать отрицательный результат. Данное уравнение описывало бы ситуацию, в которой работа была закончена на 3 часа позже, а не раньше.

3) $ \frac{140}{x} - \frac{140}{x - 6} = 3 $

Это уравнение неверно, потому что оно предполагает, что фактическая производительность была $x - 6$ деталей в час, то есть на 6 деталей меньше плановой, что противоречит условию задачи.

4) $ \frac{140}{x - 6} - \frac{140}{x} = 3 $

Это уравнение неверно по двум причинам: используется неверная фактическая производительность ($x-6$), и оно описывает ситуацию, когда работа заняла бы больше времени, чем планировалось.

Следовательно, единственным верным уравнением является первое.

Ответ: 1

2. В раствор, содержащий 90 г воды, добавили 80 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Пусть раствор содержал x г соли. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $ \frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 10 $

2) $ \frac{x}{x + 170} - \frac{x}{x + 90} = 10 $

3) $ \frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 0,1 $

4) $ \frac{x}{x + 170} - \frac{x}{x + 90} = 0,1 $

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью ситуации, последовательно проанализируем условие задачи.

Пусть $x$ г — масса соли в растворе. Изначально раствор содержал 90 г воды. Общая масса исходного раствора складывается из массы соли и массы воды, то есть $m_1 = x + 90$ г. Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к общей массе раствора. Таким образом, первоначальная концентрация соли ($C_1$) была:

$C_1 = \frac{x}{x + 90}$

Затем в раствор добавили 80 г воды. Масса соли при этом не изменилась и осталась равной $x$ г. Масса воды в новом растворе стала $90 + 80 = 170$ г. Соответственно, общая масса нового раствора стала $m_2 = x + 170$ г. Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе равна:

$C_2 = \frac{x}{x + 170}$

Согласно условию, после добавления воды концентрация соли уменьшилась на 10%. Это означает, что разница между первоначальной концентрацией и новой концентрацией составляет 10 процентных пунктов. При переводе в десятичную дробь, 10% равно 0,1. Так как в раствор добавляли воду, масса раствора увеличилась, а значит, концентрация соли уменьшилась, то есть $C_1 > C_2$. Разница между ними будет положительной: $C_1 - C_2$.

Составим уравнение, отражающее это изменение:

$C_1 - C_2 = 0,1$

Теперь подставим в это уравнение полученные выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 0,1$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно в точности совпадает с уравнением под номером 3.

Ответ: 3

3. Моторная лодка прошла 48 км против течения реки и 24 км по течению, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 4)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(x - 4)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 4$.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S_1}{v_1}$. Подставив значения, получим:$$ t_1 = \frac{48}{x - 4} \text{ ч} $$

Время, которое лодка затратила на путь по течению, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S_2}{v_2}$. Подставив значения, получим:$$ t_2 = \frac{24}{x + 4} \text{ ч} $$

По условию задачи, на весь путь было затрачено 4 часа. Это означает, что $t_1 + t_2 = 4$. Составим и решим уравнение:$$ \frac{48}{x - 4} + \frac{24}{x + 4} = 4 $$

Для удобства вычислений разделим обе части уравнения на 4:$$ \frac{12}{x - 4} + \frac{6}{x + 4} = 1 $$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x - 4)(x + 4)$:$$ \frac{12(x + 4) + 6(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 1 $$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $(x - 4)(x + 4)$, при условии что $x \neq 4$ и $x \neq -4$:$$ 12(x + 4) + 6(x - 4) = (x - 4)(x + 4) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ 12x + 48 + 6x - 24 = x^2 - 16 $$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 18x + 24 = x^2 - 16 $$$$ x^2 - 18x - 16 - 24 = 0 $$$$ x^2 - 18x - 40 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$$ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:$$ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 $$$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20 $$$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 20 км/ч.

Выполним проверку:
Время движения против течения: $\frac{48}{20 - 4} = \frac{48}{16} = 3$ часа.
Время движения по течению: $\frac{24}{20 + 4} = \frac{24}{24} = 1$ час.
Общее время: $3 + 1 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 20 км/ч.

4. Для наполнения бассейна водой через первую трубу требуется на 5 ч больше времени, чем через вторую трубу. Если открыть одновременно обе трубы, то бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть всю работу по наполнению бассейна мы примем за 1.

Пусть $x$ часов – время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая в одиночку.

Согласно условию, первой трубе требуется на 5 часов больше времени, чем второй. Следовательно, время, за которое первая труба наполнит бассейн, равно $(x+5)$ часов.

Теперь определим производительность (скорость работы) каждой трубы. Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.
Производительность первой трубы: $p_1 = \frac{1}{x+5}$ (часть бассейна в час).
Производительность второй трубы: $p_2 = \frac{1}{x}$ (часть бассейна в час).

Когда обе трубы открыты одновременно, их производительности складываются. Совместная производительность равна:
$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$

По условию, при совместной работе бассейн наполняется за 6 часов. Это означает, что совместная производительность, умноженная на время, равна всей работе (т.е. 1):
$(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}) \cdot 6 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.
Разделим обе части на 6:
$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x + (x+5)}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Значит, корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, время наполнения бассейна второй трубой составляет $x = 10$ часов.

Вопрос задачи – за сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу. Время работы первой трубы равно $x+5$.
$10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: бассейн можно наполнить, открыв только первую трубу, за 15 часов.