Номер 2, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. В раствор, содержащий 90 г воды, добавили 80 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Пусть раствор содержал x г соли. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $ \frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 10 $

2) $ \frac{x}{x + 170} - \frac{x}{x + 90} = 10 $

3) $ \frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 0,1 $

4) $ \frac{x}{x + 170} - \frac{x}{x + 90} = 0,1 $

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью ситуации, последовательно проанализируем условие задачи.

Пусть $x$ г — масса соли в растворе. Изначально раствор содержал 90 г воды. Общая масса исходного раствора складывается из массы соли и массы воды, то есть $m_1 = x + 90$ г. Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к общей массе раствора. Таким образом, первоначальная концентрация соли ($C_1$) была:

$C_1 = \frac{x}{x + 90}$

Затем в раствор добавили 80 г воды. Масса соли при этом не изменилась и осталась равной $x$ г. Масса воды в новом растворе стала $90 + 80 = 170$ г. Соответственно, общая масса нового раствора стала $m_2 = x + 170$ г. Новая концентрация соли ($C_2$) в растворе равна:

$C_2 = \frac{x}{x + 170}$

Согласно условию, после добавления воды концентрация соли уменьшилась на 10%. Это означает, что разница между первоначальной концентрацией и новой концентрацией составляет 10 процентных пунктов. При переводе в десятичную дробь, 10% равно 0,1. Так как в раствор добавляли воду, масса раствора увеличилась, а значит, концентрация соли уменьшилась, то есть $C_1 > C_2$. Разница между ними будет положительной: $C_1 - C_2$.

Составим уравнение, отражающее это изменение:

$C_1 - C_2 = 0,1$

Теперь подставим в это уравнение полученные выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{x}{x + 90} - \frac{x}{x + 170} = 0,1$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно в точности совпадает с уравнением под номером 3.

Ответ: 3