Номер 2, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 20 г соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15%.

Пусть раствор содержал $x$ г воды. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 15$

2) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 0,15$

3) $\frac{20}{x+20} - \frac{40}{x+40} = 15$

4) $\frac{20}{x+20} - \frac{40}{x+40} = 0,15$

Давайте разберем задачу по шагам, чтобы составить правильное уравнение.

1. Начальное состояние раствора.

Пусть $x$ г — это начальная масса воды в растворе.

Изначально в растворе было 20 г соли.

Тогда общая масса начального раствора составляет: $m_1 = (\text{масса соли}) + (\text{масса воды}) = 20 + x$ г.

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к общей массе раствора. Начальная концентрация соли (в долях) равна:

$C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{20}{x + 20}$

2. Конечное состояние раствора.

В раствор добавили еще 20 г соли.

Новая масса соли в растворе: $20 + 20 = 40$ г.

Масса воды осталась прежней — $x$ г.

Новая общая масса раствора: $m_2 = (\text{новая масса соли}) + (\text{масса воды}) = 40 + x$ г.

Конечная концентрация соли (в долях) равна:

$C_2 = \frac{\text{новая масса соли}}{\text{новая масса раствора}} = \frac{40}{x + 40}$

3. Составление уравнения.

По условию, концентрация соли увеличилась на 15%. Это означает, что разница между конечной и начальной концентрациями составляет 15 процентных пунктов.

Чтобы работать с долями, нужно перевести проценты в доли: $15\% = \frac{15}{100} = 0,15$.

Так как концентрация увеличилась, то $C_2$ больше, чем $C_1$. Их разница равна 0,15:

$C_2 - C_1 = 0,15$

Подставляем выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{40}{x + 40} - \frac{20}{x + 20} = 0,15$

Это уравнение в точности совпадает с вариантом под номером 2).

Почему другие варианты не подходят:

• Вариант 1) $\frac{40}{x + 40} - \frac{20}{x + 20} = 15$: Неверно, так как в левой части уравнения вычисляется разность долей (числа от 0 до 1), а в правой части стоит число 15, а не 0,15.
• Варианты 3) и 4): В них из начальной концентрации вычитается конечная. Так как концентрация увеличилась, результат должен быть отрицательным, а в правой части уравнений стоят положительные числа (15 и 0,15).

Таким образом, единственно верной математической моделью является уравнение из второго варианта.

Ответ: 2) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 0,15$