Номер 3, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Катер прошёл 40 км по течению реки и 30 км противтечения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скоростькатера в стоячей воде, если скорость течения рекиравна 5 км/ч.

Пусть собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. По условию задачи, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки составляет $x + 5$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $x - 5$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$.

Время, затраченное на путь по течению, равно отношению расстояния к скорости по течению:
$t_{по\;течению} = \frac{40}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно отношению расстояния к скорости против течения:
$t_{против\;течения} = \frac{30}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Составим и решим уравнение:

$\frac{40}{x+5} + \frac{30}{x-5} = 5$

Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$:

$\frac{40(x-5) + 30(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 5$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{40x - 200 + 30x + 150}{x^2 - 25} = 5$

$\frac{70x - 50}{x^2 - 25} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 25$ (при условии, что $x \neq \pm 5$):

$70x - 50 = 5(x^2 - 25)$

$70x - 50 = 5x^2 - 125$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 70x - 75 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$

$\sqrt{D} = 16$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 5$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.