Номер 3, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. От пристани А в направлении пристани В по течению реки отправился плот. Через 3 ч вслед за плотом от пристани А отправилась моторная лодка, которая, подойдя к пристани В, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот прошёл 30 км. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи введём следующие обозначения:
$S$ — расстояние между пристанями A и B, $S = 72$ км.
$v_{теч}$ — скорость течения реки, $v_{теч} = 3$ км/ч.
$v_{л}$ — искомая скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость лодки).

1. Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя. Таким образом, $v_{плота} = v_{теч} = 3$ км/ч. К моменту возвращения лодки в A плот прошёл 30 км. Найдём, сколько времени плот находился в пути: $t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{30 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

2. Моторная лодка отправилась через 3 часа после плота. Следовательно, общее время движения лодки составляет: $t_{лодки} = t_{плота} - 3 \text{ ч} = 10 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 7$ часов.

3. Лодка прошла путь от A до B (по течению) и от B до A (против течения). Скорость лодки по течению: $v_{по\ теч} = v_{л} + v_{теч} = v_{л} + 3$ км/ч.
Скорость лодки против течения: $v_{против\ теч} = v_{л} - v_{теч} = v_{л} - 3$ км/ч.
Время, затраченное на путь от A до B: $t_{А \to В} = \frac{S}{v_{по\ теч}} = \frac{72}{v_{л} + 3}$ ч.
Время, затраченное на путь от B до A: $t_{В \to А} = \frac{S}{v_{против\ теч}} = \frac{72}{v_{л} - 3}$ ч.

4. Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{лодки} = t_{А \to В} + t_{В \to А}$ Составим уравнение, подставив известные значения: $7 = \frac{72}{v_{л} + 3} + \frac{72}{v_{л} - 3}$

5. Решим полученное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(v_{л} + 3)(v_{л} - 3) = v_{л}^2 - 9$, при условии, что $v_{л} \neq 3$ и $v_{л} \neq -3$. Так как лодка движется против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, т.е. $v_{л} > 3$. $7(v_{л}^2 - 9) = 72(v_{л} - 3) + 72(v_{л} + 3)$
$7v_{л}^2 - 63 = 72v_{л} - 216 + 72v_{л} + 216$
$7v_{л}^2 - 63 = 144v_{л}$
$7v_{л}^2 - 144v_{л} - 63 = 0$

6. Мы получили квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-63) = 20736 + 1764 = 22500$
$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$
$v_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 + 150}{2 \cdot 7} = \frac{294}{14} = 21$
$v_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 - 150}{2 \cdot 7} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень $v_{л2}$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/ч.

Ответ: 21 км/ч.