Номер 3, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $45 \text{ км}$. От пристани $A$ в направлении пристани $B$ по течению реки отправился плот. Через $1 \text{ ч}$ вслед за плотом от пристани $A$ отправилась моторная лодка, которая, подойдя к пристани $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани $A$. К этому времени плот прошёл $28 \text{ км}$. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $4 \text{ км/ч}$.

Обозначим искомое значение – скорость лодки в стоячей воде – как $x$ км/ч. Скорость течения реки дана и равна 4 км/ч. Плот движется со скоростью течения, то есть его скорость $v_{плот} = 4$ км/ч.

Из условия известно, что к моменту возвращения лодки в пункт А, плот прошёл 28 км. Зная скорость плота, мы можем найти время, которое плот находился в пути:

$t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{28}{4} = 7$ часов.

Моторная лодка отправилась в путь на 1 час позже плота. Следовательно, общее время, которое лодка была в пути, составляет:

$t_{лодка} = t_{плот} - 1 = 7 - 1 = 6$ часов.

Лодка прошла 45 км от пристани А до пристани В по течению, а затем 45 км от В до А против течения.
Скорость лодки по течению реки: $(x + 4)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки: $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное лодкой на путь от А до В: $t_{А \to В} = \frac{45}{x+4}$ часов.
Время, затраченное лодкой на обратный путь от В до А: $t_{В \to А} = \frac{45}{x-4}$ часов.

Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения. Мы уже знаем, что это время составляет 6 часов. Составим уравнение:

$\frac{45}{x+4} + \frac{45}{x-4} = 6$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$. Допустимые значения $x > 4$, так как скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы она могла двигаться против течения.

$\frac{45(x-4) + 45(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 6$

$\frac{45x - 180 + 45x + 180}{x^2 - 16} = 6$

$\frac{90x}{x^2 - 16} = 6$

$90x = 6(x^2 - 16)$

Разделим обе части уравнения на 6:

$15x = x^2 - 16$

$x^2 - 15x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 15$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -16$.
Подбираем корни: $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.

Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.