Номер 4, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Первому рабочему для выполнения производственного задания требуется на 4 ч меньше, чем второму. Первый рабочий трудился 2 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий трудился 3 ч, оказалось, что выполнено 50% задания. За сколько часов первый рабочий может выполнить это задание самостоятельно?

Пусть время, необходимое первому рабочему для выполнения всего задания, равно $t$ часов. Согласно условию, первому рабочему требуется на 4 часа меньше, чем второму, значит, второму рабочему для выполнения всего задания потребуется $(t + 4)$ часов.

Производительность труда (часть задания, выполняемая за 1 час) для первого рабочего составляет $\frac{1}{t}$, а для второго — $\frac{1}{t+4}$.

Первый рабочий трудился 2 часа и выполнил часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{2}{t}$. Затем второй рабочий трудился 3 часа и выполнил часть задания, равную $3 \cdot \frac{1}{t+4} = \frac{3}{t+4}$.

Вместе они выполнили 50% задания, что составляет 0.5 или $\frac{1}{2}$ от всего задания. Составим уравнение, сложив части работы, выполненные обоими рабочими: $$ \frac{2}{t} + \frac{3}{t+4} = \frac{1}{2} $$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t+4)$: $$ \frac{2(t+4) + 3t}{t(t+4)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{2t + 8 + 3t}{t^2 + 4t} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{5t + 8}{t^2 + 4t} = \frac{1}{2} $$

Используя свойство пропорции, получаем: $$ 2(5t + 8) = 1(t^2 + 4t) $$ $$ 10t + 16 = t^2 + 4t $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ t^2 + 4t - 10t - 16 = 0 $$ $$ t^2 - 6t - 16 = 0 $$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Так как время ($t$) не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое первый рабочий может выполнить задание самостоятельно, равно 8 часам.

Проверка:
Время первого рабочего — 8 ч, производительность — $\frac{1}{8}$.
Время второго рабочего — $8+4=12$ ч, производительность — $\frac{1}{12}$.
Работа, выполненная за 2 ч первым и 3 ч вторым: $2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{8} + \frac{3}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Это составляет 50% задания, что соответствует условию.

Ответ: 8 часов.