Номер 4, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Первому рабочему для выполнения производственного задания требуется на 2 ч больше, чем второму. Первый рабочий трудился 6 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий трудился 2 ч, оказалось, что выполнено 70% задания. За сколько часов второй рабочий может выполнить это задание самостоятельно?

Пусть время, за которое второй рабочий может выполнить все задание самостоятельно, равно $x$ часов. Тогда его производительность (часть задания, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первому рабочему для выполнения этого же задания требуется на 2 часа больше, то есть $x + 2$ часа. Следовательно, его производительность равна $\frac{1}{x+2}$.

Первый рабочий трудился 6 часов и выполнил часть задания, равную его производительности, умноженной на время работы: $6 \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{6}{x+2}$.

Затем его сменил второй рабочий, который трудился 2 часа и выполнил часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Вместе они выполнили 70% задания. Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0,7$.

Теперь составим уравнение, сложив части работы, выполненные обоими рабочими:

$\frac{6}{x+2} + \frac{2}{x} = 0,7$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$ и представим $0,7$ как обыкновенную дробь $\frac{7}{10}$:

$\frac{6x + 2(x+2)}{x(x+2)} = \frac{7}{10}$

$\frac{6x + 2x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{7}{10}$

$\frac{8x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{7}{10}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), при условии, что $x>0$ (так как время не может быть отрицательным или нулевым):

$10(8x + 4) = 7(x^2 + 2x)$

$80x + 40 = 7x^2 + 14x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$7x^2 + 14x - 80x - 40 = 0$

$7x^2 - 66x - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-66)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-40) = 4356 + 1120 = 5476$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5476} = 74$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{66 + 74}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$

$x_2 = \frac{66 - 74}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -\frac{4}{7}$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, время, за которое второй рабочий может выполнить задание самостоятельно, равно 10 часам.

Ответ: 10 часов.