Страница 100 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь планировал изготовить 208 деталей за определённый срок. Однако из-за сложности деталей он изготавливал в час на 13 деталей меньше, чем планировал, и закончил работу на 8 ч позже. Пусть токарь изготавливал $x$ деталей в час. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{208}{x - 13} - \frac{208}{x} = 8$

2) $\frac{208}{x} - \frac{208}{x - 13} = 8$

3) $\frac{208}{x + 13} - \frac{208}{x} = 8$

4) $\frac{208}{x} - \frac{208}{x + 13} = 8$

Для решения задачи составим математическую модель, основываясь на данных из условия.

1. Определим переменные и величины:

• Общее количество деталей, которое нужно изготовить, составляет 208.
• Пусть $x$ — это фактическая производительность токаря, то есть количество деталей, которое он изготавливал в час.
• По условию, токарь изготавливал в час на 13 деталей меньше, чем планировал. Следовательно, плановая производительность была на 13 деталей в час больше фактической. Плановая производительность = $x + 13$ деталей в час.

2. Выразим время работы через производительность:

Общая формула для времени: $Время = \frac{Работа}{Производительность}$.

• Фактическое время, затраченное на работу: $T_{факт} = \frac{208}{x}$ часов.
• Плановое время, которое токарь должен был затратить: $T_{план} = \frac{208}{x+13}$ часов.

3. Составим уравнение:

В условии сказано, что токарь закончил работу на 8 часов позже, чем планировал. Это означает, что фактическое время больше планового на 8 часов.

$T_{факт} - T_{план} = 8$

Подставим в это равенство выражения для времени, которые мы получили:

$\frac{208}{x} - \frac{208}{x+13} = 8$

Это уравнение является математической моделью описанной ситуации. Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4

2. В раствор, содержащий 10 г соли, добавили 5 г соли и 5 г воды, после чего концентрация соли увеличилась на 5%. Пусть раствор содержал первоначально x г воды. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{15}{x + 20} - \frac{10}{x + 10} = 5$

2) $\frac{10}{x + 15} - \frac{10}{x + 10} = 5$

3) $\frac{15}{x + 20} - \frac{10}{x + 10} = 0,05$

4) $\frac{15}{x + 15} - \frac{10}{x + 10} = 0,05$

Для решения задачи составим математическую модель, описывающую изменение концентрации соли в растворе.

1. Начальное состояние раствора.

Пусть $x$ г — первоначальная масса воды в растворе.

Масса соли в растворе — $10$ г.

Общая масса исходного раствора равна сумме масс соли и воды: $10 + x$ г.

Концентрация ($C_1$) — это отношение массы растворенного вещества (соли) к общей массе раствора. Таким образом, начальная концентрация соли:

$C_1 = \frac{10}{x + 10}$

2. Конечное состояние раствора.

В раствор добавили $5$ г соли и $5$ г воды.

Новая масса соли в растворе: $10 + 5 = 15$ г.

Новая масса воды в растворе: $x + 5$ г.

Новая общая масса раствора равна сумме масс исходного раствора и добавленных веществ: $(10 + x) + 5 + 5 = x + 20$ г.

Новая (конечная) концентрация соли ($C_2$):

$C_2 = \frac{15}{x + 20}$

3. Составление уравнения.

По условию, концентрация соли увеличилась на 5%. Это означает, что разница между конечной и начальной концентрациями составляет 5%.

$C_2 - C_1 = 5\%$

Переведем 5% в десятичную дробь для использования в уравнении: $5\% = \frac{5}{100} = 0.05$.

Теперь подставим выражения для $C_1$ и $C_2$ в полученное равенство:

$\frac{15}{x + 20} - \frac{10}{x + 10} = 0.05$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

3. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $45 \text{ км}$. От пристани $A$ в направлении пристани $B$ по течению реки отправился плот. Через $1 \text{ ч}$ вслед за плотом от пристани $A$ отправилась моторная лодка, которая, подойдя к пристани $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани $A$. К этому времени плот прошёл $28 \text{ км}$. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна $4 \text{ км/ч}$.

Обозначим искомое значение – скорость лодки в стоячей воде – как $x$ км/ч. Скорость течения реки дана и равна 4 км/ч. Плот движется со скоростью течения, то есть его скорость $v_{плот} = 4$ км/ч.

Из условия известно, что к моменту возвращения лодки в пункт А, плот прошёл 28 км. Зная скорость плота, мы можем найти время, которое плот находился в пути:

$t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{28}{4} = 7$ часов.

Моторная лодка отправилась в путь на 1 час позже плота. Следовательно, общее время, которое лодка была в пути, составляет:

$t_{лодка} = t_{плот} - 1 = 7 - 1 = 6$ часов.

Лодка прошла 45 км от пристани А до пристани В по течению, а затем 45 км от В до А против течения.
Скорость лодки по течению реки: $(x + 4)$ км/ч.
Скорость лодки против течения реки: $(x - 4)$ км/ч.

Время, затраченное лодкой на путь от А до В: $t_{А \to В} = \frac{45}{x+4}$ часов.
Время, затраченное лодкой на обратный путь от В до А: $t_{В \to А} = \frac{45}{x-4}$ часов.

Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения. Мы уже знаем, что это время составляет 6 часов. Составим уравнение:

$\frac{45}{x+4} + \frac{45}{x-4} = 6$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$. Допустимые значения $x > 4$, так как скорость лодки должна быть больше скорости течения, чтобы она могла двигаться против течения.

$\frac{45(x-4) + 45(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 6$

$\frac{45x - 180 + 45x + 180}{x^2 - 16} = 6$

$\frac{90x}{x^2 - 16} = 6$

$90x = 6(x^2 - 16)$

Разделим обе части уравнения на 6:

$15x = x^2 - 16$

$x^2 - 15x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 15$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -16$.
Подбираем корни: $x_1 = 16$ и $x_2 = -1$.

Скорость лодки не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

4. Первому рабочему для выполнения производственного задания требуется на 2 ч больше, чем второму. Первый рабочий трудился 6 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий трудился 2 ч, оказалось, что выполнено 70% задания. За сколько часов второй рабочий может выполнить это задание самостоятельно?

Пусть время, за которое второй рабочий может выполнить все задание самостоятельно, равно $x$ часов. Тогда его производительность (часть задания, выполняемая за час) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию, первому рабочему для выполнения этого же задания требуется на 2 часа больше, то есть $x + 2$ часа. Следовательно, его производительность равна $\frac{1}{x+2}$.

Первый рабочий трудился 6 часов и выполнил часть задания, равную его производительности, умноженной на время работы: $6 \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{6}{x+2}$.

Затем его сменил второй рабочий, который трудился 2 часа и выполнил часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Вместе они выполнили 70% задания. Переведем проценты в десятичную дробь: $70\% = 0,7$.

Теперь составим уравнение, сложив части работы, выполненные обоими рабочими:

$\frac{6}{x+2} + \frac{2}{x} = 0,7$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$ и представим $0,7$ как обыкновенную дробь $\frac{7}{10}$:

$\frac{6x + 2(x+2)}{x(x+2)} = \frac{7}{10}$

$\frac{6x + 2x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{7}{10}$

$\frac{8x + 4}{x^2 + 2x} = \frac{7}{10}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), при условии, что $x>0$ (так как время не может быть отрицательным или нулевым):

$10(8x + 4) = 7(x^2 + 2x)$

$80x + 40 = 7x^2 + 14x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$7x^2 + 14x - 80x - 40 = 0$

$7x^2 - 66x - 40 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-66)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-40) = 4356 + 1120 = 5476$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5476} = 74$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{66 + 74}{2 \cdot 7} = \frac{140}{14} = 10$

$x_2 = \frac{66 - 74}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательной величиной. Поэтому корень $x_2 = -\frac{4}{7}$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, время, за которое второй рабочий может выполнить задание самостоятельно, равно 10 часам.

Ответ: 10 часов.