Страница 95 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из приведённых уравнений не является биквадратным?

1) $x^4 - 8x^2 + 12 = 0$

2) $x^4 + 4x^3 - 6x^2 = 0$

3) $x^4 - 20x^2 = 0$

4) $x^4 + 13x^2 - 11 = 0$

Биквадратным называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Характерной чертой такого уравнения является то, что оно содержит переменную только в четных степенях ($x^4$, $x^2$) и свободный член. В нем не должно быть членов с нечетными степенями переменной, такими как $x^3$ или $x$.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений на соответствие этому определению:

1) $x^4 - 8x^2 + 12 = 0$
Данное уравнение полностью соответствует определению биквадратного уравнения. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=12$. Присутствуют только члены с четными степенями переменной ($x^4$ и $x^2$) и свободный член. Следовательно, это биквадратное уравнение.

2) $x^4 + 4x^3 - 6x^2 = 0$
В этом уравнении присутствует член $4x^3$, в котором переменная находится в нечетной степени (3). Наличие этого члена нарушает структуру биквадратного уравнения. Следовательно, данное уравнение не является биквадратным.

3) $x^4 - 20x^2 = 0$
Это уравнение является частным случаем биквадратного уравнения, где свободный член $c=0$. Его вид $x^4 - 20x^2 + 0 = 0$ соответствует общей форме $ax^4 + bx^2 + c = 0$ при $a=1$, $b=-20$. Присутствуют только члены с четными степенями переменной. Следовательно, это биквадратное уравнение.

4) $x^4 + 13x^2 - 11 = 0$
Данное уравнение также полностью соответствует определению биквадратного уравнения. Здесь коэффициенты $a=1$, $b=13$, $c=-11$. Присутствуют только члены с четными степенями переменной ($x^4$ и $x^2$) и свободный член. Следовательно, это биквадратное уравнение.

Таким образом, единственное уравнение из списка, которое не является биквадратным, – это уравнение под номером 2, так как оно содержит слагаемое с $x$ в третьей степени.

Ответ: 2) $x^4 + 4x^3 - 6x^2 = 0$

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 - 18x + 81}{x^2 - 10x + 9} = 0.$

1) $ \{1, 9\} $

2) $ \{1\} $

3) $ \{9\} $

4) $ \emptyset $

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно решению системы:

$ \begin{cases} x^2 - 18x + 81 = 0, \\ x^2 - 10x + 9 \neq 0. \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 18x + 81 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Свернем выражение:

$(x - 9)^2 = 0$

Отсюда получаем единственный корень:

$x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9$

2. Проверим выполнение второго условия системы (область допустимых значений):

$x^2 - 10x + 9 \neq 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$, чтобы определить значения, которые необходимо исключить.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 10$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 9$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.

Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x=1$ и $x=9$. Эти значения переменной недопустимы.

3. Сделаем вывод.

Единственный возможный корень уравнения, полученный из числителя, это $x = 9$. Однако это значение не входит в область допустимых значений ($x \neq 9$), так как при $x=9$ знаменатель дроби обращается в ноль.

Поскольку других корней у числителя нет, исходное уравнение не имеет решений. Множество его корней является пустым множеством.

Ответ: 4) $\emptyset$

3. Решите уравнение:

1) $x^4 + 7x^2 - 18 = 0;$

2) $\frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 5;$

3) $\frac{6}{x^2 - 4x + 3} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3};$

4) $(x^2 + 2x - 6)(x^2 + 2x - 12) - 27 = 0.$

1) $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$t^2 + 7t - 18 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$ для $t_1 = 2$:

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

2) $\frac{6}{x} + \frac{6}{x+1} = 5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x \ne 0$ и $x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{6(x+1) + 6x}{x(x+1)} = 5$

$\frac{6x + 6 + 6x}{x^2 + x} = 5$

$\frac{12x + 6}{x^2 + x} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 + x$ (с учетом ОДЗ):

$12x + 6 = 5(x^2 + x)$

$12x + 6 = 5x^2 + 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 + 5x - 12x - 6 = 0$

$5x^2 - 7x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$

$x_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ne 0, x \ne -1$).

Ответ: $-0.6; 2$.

3) $\frac{6}{x^2 - 4x + 3} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Разложим знаменатель $x^2 - 4x + 3$ на множители. Корнями уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ являются $x=1$ и $x=3$ (по теореме Виета), поэтому $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю, следовательно, $x \ne 1$ и $x \ne 3$.

Перепишем уравнение:

$\frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x-3)$:

$6 + (13 - 7x)(x - 3) = 3(x - 1)$

Раскроем скобки:

$6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$-7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3$

Перенесем все в одну сторону:

$7x^2 - 34x + 33 + 3x - 3 = 0$

$7x^2 - 31x + 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3$

$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 3$), поэтому это посторонний корень. Корень $x_2 = \frac{10}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{10}{7}$.

4) $(x^2 + 2x - 6)(x^2 + 2x - 12) - 27 = 0$

Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2 + 2x$.

Уравнение примет вид:

$(t - 6)(t - 12) - 27 = 0$

Раскроем скобки и упростим:

$t^2 - 12t - 6t + 72 - 27 = 0$

$t^2 - 18t + 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни $t_1=3$ и $t_2=15$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 3$

$x^2 + 2x = 3$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Случай 2: $t = 15$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = 3$ и $x_4 = -5$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-5; -3; 1; 3$.