Страница 88 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно произведение корней уравнения

$3x^2 + 5x - 12 = 0$?

1) $-12$ 2) $12$ 3) $-4$ 4) $4$

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$ наиболее простым способом является использование теоремы Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, которое имеет корни $x_1$ и $x_2$, произведение этих корней вычисляется по формуле:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $3x^2 + 5x - 12 = 0$ определим значения коэффициентов:

• Старший коэффициент $a = 3$
• Второй коэффициент $b = 5$
• Свободный член $c = -12$

Прежде чем применять теорему, стоит убедиться, что уравнение вообще имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$

Поскольку $D = 169 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, следовательно, применение теоремы Виета корректно.

Теперь подставим значения коэффициентов $a=3$ и $c=-12$ в формулу для произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-12}{3}$

Выполним деление:

$x_1 \cdot x_2 = -4$

Произведение корней уравнения равно -4, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: -4

2. Чему равен коэффициент $b$ уравнения $2x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа $-9$ и $4$?

1) $-10$

2) $10$

3) $-5$

4) $5$

Для нахождения коэффициента $b$ воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения общего вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае дано уравнение $2x^2 + bx + c = 0$. Из него видно, что старший коэффициент $a = 2$.

Также известны корни уравнения: $x_1 = -9$ и $x_2 = 4$.

Используем формулу для суммы корней, чтобы найти коэффициент $b$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$-9 + 4 = -\frac{b}{2}$

Вычислим сумму в левой части уравнения:

$-5 = -\frac{b}{2}$

Теперь выразим $b$. Для этого умножим обе части равенства на $-2$:

$(-5) \cdot (-2) = b$

$b = 10$

Следовательно, коэффициент $b$ равен 10.

Ответ: 10

3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $ \frac{1}{7} $ и $ -\frac{1}{3} $.

Для составления квадратного уравнения с заданными корнями $x_1$ и $x_2$ можно воспользоваться формулой, основанной на теореме Виета для приведённого квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$): $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$.

Заданные корни: $x_1 = \frac{1}{7}$ и $x_2 = -\frac{1}{3}$.

Сначала найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{7} + (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{7} - \frac{1}{3} = \frac{3}{21} - \frac{7}{21} = -\frac{4}{21}$.

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{7} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{21}$.

Подставим полученные значения суммы и произведения в общую формулу уравнения:

$x^2 - (-\frac{4}{21})x + (-\frac{1}{21}) = 0$

$x^2 + \frac{4}{21}x - \frac{1}{21} = 0$

По условию задачи, коэффициенты уравнения должны быть целыми. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим все члены уравнения на их общий знаменатель, то есть на 21:

$21 \cdot (x^2 + \frac{4}{21}x - \frac{1}{21}) = 21 \cdot 0$

$21x^2 + 4x - 1 = 0$

Полученное уравнение имеет целые коэффициенты и заданные корни.

Ответ: $21x^2 + 4x - 1 = 0$

4. При каком значении $b$ корни уравнения $4x^2 + bx - 32 = 0$ являются противоположными числами? Найдите эти корни.

Нахождение значения b

Дано квадратное уравнение $4x^2 + bx - 32 = 0$.

По условию, корни уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что $x_1 = -x_2$, и их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма его корней равна:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

В нашем случае коэффициенты равны $a=4$ и $b=b$. Подставим эти значения в формулу:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{4}$

Так как мы установили, что сумма корней равна нулю, мы можем составить следующее уравнение:

$-\frac{b}{4} = 0$

Умножив обе части на -4, получаем:

$b = 0$

Ответ: $b=0$.

Нахождение корней уравнения

Теперь, когда известно значение $b$, подставим его в исходное уравнение:

$4x^2 + 0 \cdot x - 32 = 0$

Уравнение принимает вид неполного квадратного уравнения:

$4x^2 - 32 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 32$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{32}{4}$

$x^2 = 8$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{8}$

Упростим значение корня: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2\sqrt{2}$ и $x_2 = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$ и $2\sqrt{2}$.

5. Один из корней уравнения $5x^2 + 45x + c = 0$ на 3 меньше другого. Найдите корни уравнения и значение c.

Дано квадратное уравнение $5x^2 + 45x + c = 0$. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, один из корней на 3 меньше другого. Запишем это в виде соотношения, например: $x_1 = x_2 - 3$.

Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $ax^2 + bx + d = 0$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b/a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = d/a$

В нашем случае коэффициенты равны: $a=5$, $b=45$, $d=c$.

Используем формулу для суммы корней:

$x_1 + x_2 = -45/5 = -9$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 = x_2 - 3 \\ x_1 + x_2 = -9 \end{cases} $

Подставим выражение для $x_1$ из первого уравнения во второе:

$(x_2 - 3) + x_2 = -9$

$2x_2 - 3 = -9$

$2x_2 = -9 + 3$

$2x_2 = -6$

$x_2 = -3$

Теперь найдем второй корень $x_1$, используя первое уравнение системы:

$x_1 = x_2 - 3 = -3 - 3 = -6$

Таким образом, корни уравнения: -6 и -3.

Для нахождения значения $c$ используем формулу для произведения корней из теоремы Виета:

$x_1 \cdot x_2 = c/a$

Подставим найденные значения корней и коэффициент $a$:

$(-6) \cdot (-3) = c/5$

$18 = c/5$

Отсюда находим $c$:

$c = 18 \cdot 5 = 90$

Ответ: корни уравнения равны -6 и -3; значение $c = 90$.

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Пусть $x$ — корень исходного уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$.
Пусть $y$ — корень нового, искомого уравнения.

По условию задачи, корень нового уравнения на 2 больше корня исходного уравнения, то есть $y = x + 2$.
Отсюда можно выразить $x$ через $y$: $x = y - 2$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$, мы можем подставить в это уравнение выражение $(y - 2)$ вместо $x$ и получим верное равенство. Это позволит нам найти уравнение для $y$.

Подставляем $x = y - 2$ в исходное уравнение:
$(y - 2)^2 + 2(y - 2) - 1 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) + (2y - 4) - 1 = 0$
$(y^2 - 4y + 4) + 2y - 4 - 1 = 0$

Убираем скобки и приводим подобные:
$y^2 - 4y + 4 + 2y - 4 - 1 = 0$
$y^2 + (-4y + 2y) + (4 - 4 - 1) = 0$
$y^2 - 2y - 1 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение для переменной $y$. Традиционно квадратные уравнения записывают с переменной $x$, поэтому заменим $y$ на $x$.

Дополнительный способ через теорему Виета:

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -1$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового уравнения. По условию $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.
Найдем их сумму и произведение:
Сумма: $y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -2 + 4 = 2$.
Произведение: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -1 + 2(-2) + 4 = -1 - 4 + 4 = -1$.

Новое уравнение имеет вид $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.
Подставив найденные значения, получаем: $y^2 - 2y - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 1 = 0$