Страница 85 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна сумма корней уравнения $x^2 + 8x - 24 = 0$?

1) 8

2) -8

3) 24

4) -24

Для решения данного вопроса воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1 + x_2$) такого уравнения равна $-b/a$, а их произведение ($x_1 \cdot x_2$) равно $c/a$. Это справедливо, если корни уравнения существуют (то есть дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$).

Рассмотрим заданное уравнение: $x^2 + 8x - 24 = 0$.

Определим его коэффициенты:

• $a = 1$
• $b = 8$
• $c = -24$

Проверим, существуют ли у уравнения действительные корни, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160$.

Поскольку $D = 160 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Найдем сумму корней по формуле $x_1 + x_2 = -b/a$:

$x_1 + x_2 = -8/1 = -8$.

Таким образом, сумма корней уравнения равна -8, что соответствует варианту ответа 2).

Ответ: -8

2. Чему равен коэффициент $c$ уравнения $x^2 + bx + c = 0$, если его корнями являются числа $-12$ и $5$?

1) $-7$ 2) $7$ 3) $-60$ 4) $60$

Для нахождения коэффициента $c$ в квадратном уравнении $x^2 + bx + c = 0$ можно воспользоваться теоремой Виета.

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения (когда коэффициент при $x^2$ равен 1) гласит, что произведение корней ($x_1$ и $x_2$) равно свободному члену (коэффициенту $c$), а сумма корней равна второму коэффициенту (коэффициенту $b$) с противоположным знаком.

Нас интересует коэффициент $c$, который равен произведению корней:

$c = x_1 \cdot x_2$

По условию задачи, корнями уравнения являются числа -12 и 5. Пусть $x_1 = -12$ и $x_2 = 5$.

Подставим эти значения в формулу:

$c = (-12) \cdot 5$

$c = -60$

Таким образом, коэффициент $c$ равен -60.

Ответ: -60

3. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны $ - \frac{1}{3} $ и 2.

Для составления квадратного уравнения по его корням можно воспользоваться обратной теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями некоторого приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, то его коэффициенты можно найти по формулам:
$p = -(x_1 + x_2)$
$q = x_1 \cdot x_2$

В данной задаче корни уравнения равны $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = 2$.

1. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$

2. Найдем произведение корней:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для приведенного квадратного уравнения $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$:
$x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{2}{3} = 0$

По условию задачи, коэффициенты уравнения должны быть целыми. Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 3:
$3 \cdot (x^2 - \frac{7}{3}x + \frac{2}{3}) = 3 \cdot 0$
$3x^2 - 3 \cdot \frac{7}{3}x + 3 \cdot \frac{2}{3} = 0$
$3x^2 - 7x + 2 = 0$

Полученное уравнение имеет целые коэффициенты (3, -7, 2) и его корнями являются числа $\frac{1}{3}$ и 2.
Ответ: $3x^2 - 7x + 2 = 0$

4. При каком значении $b$ корни уравнения $x^2 + bx - 19 = 0$ являются противоположными числами? Найmдите эти корни.

Данное уравнение $x^2 + bx - 19 = 0$ является квадратным. По условию, его корни являются противоположными числами. Обозначим корни как $x_1$ и $x_2$.

При каком значении b корни уравнения являются противоположными числами?

Если числа $x_1$ и $x_2$ противоположны, то их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Согласно этой теореме, сумма корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ равна второму коэффициенту с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении $x^2 + bx - 19 = 0$ второй коэффициент $p$ равен $b$. Следовательно, сумма корней равна:
$x_1 + x_2 = -b$

Так как мы имеем два выражения для суммы корней, $x_1 + x_2 = 0$ (из условия) и $x_1 + x_2 = -b$ (по теореме Виета), мы можем их приравнять:
$-b = 0$
Отсюда следует, что $b = 0$.
Ответ: $b=0$.

Найдите эти корни.

Теперь, когда мы определили значение $b$, подставим его в исходное уравнение:
$x^2 + 0 \cdot x - 19 = 0$
$x^2 - 19 = 0$

Решим это неполное квадратное уравнение:
$x^2 = 19$
$x = \pm\sqrt{19}$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = \sqrt{19}$ и $x_2 = -\sqrt{19}$. Эти числа действительно являются противоположными.
Ответ: корни уравнения: $-\sqrt{19}$ и $\sqrt{19}$.

5. Один из корней уравнения $x^2 - 8x + c = 0$ на 2 больше другого. Найдите корни уравнения и значение c.

Пусть корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + c = 0$ – это $x_1$ и $x_2$.

Согласно условию задачи, один корень на 2 больше другого. Запишем это соотношение в виде уравнения: $x_2 = x_1 + 2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

Применительно к нашему уравнению $x^2 - 8x + c = 0$, где $p = -8$ и $q = c$:
1. $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$
2. $x_1 \cdot x_2 = c$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
$x_1 + x_2 = 8$
$x_2 = x_1 + 2$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти $x_1$:
$x_1 + (x_1 + 2) = 8$
$2x_1 + 2 = 8$
$2x_1 = 8 - 2$
$2x_1 = 6$
$x_1 = 3$

Зная $x_1$, найдём второй корень $x_2$:
$x_2 = x_1 + 2 = 3 + 2 = 5$

Таким образом, корни уравнения – это 3 и 5.

Теперь найдём значение $c$, используя формулу произведения корней:
$c = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15$

Ответ: корни уравнения равны 3 и 5; значение $c$ равно 15.

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 4 раза больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 6x - 5 = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – корни исходного квадратного уравнения $x^2 + 6x - 5 = 0$. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком ($x_1 + x_2 = -p$), а произведение корней равно свободному члену ($x_1 \cdot x_2 = q$).
Для нашего уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -6$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$.

Пусть $y_1$ и $y_2$ – корни искомого квадратного уравнения. По условию задачи, они в 4 раза больше соответствующих корней исходного уравнения, то есть:
$y_1 = 4x_1$
$y_2 = 4x_2$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить новое уравнение.
Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 4x_1 + 4x_2 = 4(x_1 + x_2)$. Подставим известное значение суммы $x_1 + x_2$:
$y_1 + y_2 = 4 \cdot (-6) = -24$.
Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (4x_1) \cdot (4x_2) = 16(x_1 \cdot x_2)$. Подставим известное значение произведения $x_1 \cdot x_2$:
$y_1 \cdot y_2 = 16 \cdot (-5) = -80$.

Используя теорему, обратную теореме Виета, составим новое квадратное уравнение вида $y^2 - (y_1+y_2)y + (y_1 \cdot y_2) = 0$.
Подставим найденные значения суммы и произведения новых корней:
$y^2 - (-24)y + (-80) = 0$
$y^2 + 24y - 80 = 0$
Заменив переменную $y$ на $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 + 24x - 80 = 0$.