Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Даны уравнения:

а) $x^2 + \frac{1}{x} - 6 = 0;$

б) $16 - 0.8x^2 + 7x = 0;$

в) $15 - x + \sqrt{x} = 0.$

Какие из данных уравнений являются квадратными?

1) а, б

2) а, б, в

3) а

4) б

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём $a \neq 0$. Проанализируем каждое из данных уравнений, чтобы определить, какие из них соответствуют этому определению.

а) $x^2 + \frac{1}{x} - 6 = 0$
Данное уравнение содержит член $\frac{1}{x}$, который можно записать как $x^{-1}$. В определении квадратного уравнения (как и любого полиномиального уравнения) степени переменной должны быть неотрицательными целыми числами. Поскольку степень -1 не является таковой, это уравнение не является квадратным. Если умножить уравнение на $x$ (при $x \neq 0$), получим $x^3 - 6x + 1 = 0$, что является уравнением третьей степени (кубическим).

Ответ: не является квадратным.

б) $16 - 0,8x^2 + 7x = 0$
Приведем уравнение к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней $x$:
$-0,8x^2 + 7x + 16 = 0$
Это уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = -0,8$, $b = 7$, $c = 16$. Старшая степень переменной $x$ равна 2, и коэффициент $a$ при ней не равен нулю ($a = -0,8 \neq 0$). Следовательно, это уравнение является квадратным.

Ответ: является квадратным.

в) $15 - x + \sqrt{x} = 0$
Данное уравнение содержит член $\sqrt{x}$, который можно записать как $x^{\frac{1}{2}}$. Степень переменной $\frac{1}{2}$ не является целым числом, поэтому это уравнение не является полиномиальным и, следовательно, не является квадратным. Это иррациональное уравнение.

Ответ: не является квадратным.

Таким образом, из трех предложенных уравнений только уравнение б) является квадратным. Это соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

2. Укажите неполное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен $-1$, а второй коэффициент равен $1$.

1) $x^2 - x = 0$

2) $x - x^2 = 0$

3) $-x^2 + x - 1 = 0$

4) $x^2 + x = 0$

Стандартный вид квадратного уравнения — это $ax^2 + bx + c = 0$, где $a$ — это старший коэффициент (коэффициент при $x^2$), $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$), а $c$ — свободный член.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором либо второй коэффициент $b$, либо свободный член $c$ (или оба) равны нулю.

В условии задачи даны следующие требования к уравнению:

1. Оно должно быть неполным.
2. Старший коэффициент $a$ должен быть равен $-1$.
3. Второй коэффициент $b$ должен быть равен $1$.

Из условий, что $b=1$ и что уравнение неполное, следует, что свободный член $c$ должен быть равен нулю ($c=0$).

Таким образом, мы ищем уравнение вида: $-1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0 = 0$, то есть $-x^2 + x = 0$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов:

1) $x^2 - x = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=-1$, $c=0$. Старший коэффициент $a=1$, что не соответствует условию $a=-1$.

2) $x - x^2 = 0$

Перепишем это уравнение в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней: $-x^2 + x = 0$. Для этого уравнения коэффициенты равны: $a=-1$, $b=1$, $c=0$. Все условия выполнены: старший коэффициент равен $-1$, второй коэффициент равен $1$, и уравнение является неполным ($c=0$).

3) $-x^2 + x - 1 = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a=-1$, $b=1$, $c=-1$. Хотя старший и второй коэффициенты соответствуют условиям, наличие свободного члена $c=-1$ делает это уравнение полным, а не неполным.

4) $x^2 + x = 0$

Для этого уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=0$. Старший коэффициент $a=1$, что не соответствует условию $a=-1$.

Следовательно, единственным уравнением, удовлетворяющим всем заданным условиям, является уравнение под номером 2.

Ответ: 2

3. Решите уравнение:

1) $7x^2 - 28 = 0$;

2) $7x^2 - 28x = 0$;

3) $(5x - 2)(x + 3) - (x - 2)(x + 2) = 13x + 22$;

4) $x^2 - \frac{12x^2}{|x|} = 0.$

1) $7x^2 - 28 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть уравнения:

$7x^2 = 28$

Разделим обе части уравнения на 7:

$x^2 = \frac{28}{7}$

$x^2 = 4$

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Ответ: $-2; 2$.

2) $7x^2 - 28x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:

$7x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$7x = 0$ или $x - 4 = 0$

Решаем каждое уравнение:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

Ответ: $0; 4$.

3) $(5x - 2)(x + 3) - (x - 2)(x + 2) = 13x + 22$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Для $(x - 2)(x + 2)$ используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(5x \cdot x + 5x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3) - (x^2 - 2^2) = 13x + 22$

$(5x^2 + 15x - 2x - 6) - (x^2 - 4) = 13x + 22$

Приведём подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки:

$5x^2 + 13x - 6 - x^2 + 4 = 13x + 22$

Снова приведём подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 + 13x - 2 = 13x + 22$

Перенесём все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$4x^2 + 13x - 13x - 2 - 22 = 0$

$4x^2 - 24 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$4x^2 = 24$

$x^2 = \frac{24}{4}$

$x^2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

4) $x^2 - \frac{12x^2}{|x|} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$.

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2 \left(1 - \frac{12}{|x|}\right) = 0$

Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 0$, то и $x^2 \neq 0$. Значит, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$1 - \frac{12}{|x|} = 0$

Перенесём дробь в правую часть:

$1 = \frac{12}{|x|}$

Отсюда следует, что:

$|x| = 12$

Уравнение с модулем распадается на два случая:

$x_1 = 12$ или $x_2 = -12$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $-12; 12$.

4. При каких значениях $m$ не является квадратным уравнение $(m^2 - 11)x^2 + (m - 11)x - 2 = 0$?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициент $a$ при старшей степени ($x^2$) не должен быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если коэффициент $a$ равен нулю, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным (при условии, что $b \neq 0$).

В заданном уравнении $(m^2 - 11)x^2 + (m - 11)x - 2 = 0$ коэффициент при $x^2$ — это выражение $m^2 - 11$.

Для того чтобы данное уравнение не было квадратным, необходимо, чтобы этот коэффициент был равен нулю. Составим и решим уравнение относительно переменной $m$:

$m^2 - 11 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$m^2 = 11$

Отсюда находим значения $m$, извлекая квадратный корень из обеих частей:

$m = \pm\sqrt{11}$

Таким образом, при $m = \sqrt{11}$ и $m = -\sqrt{11}$ коэффициент при $x^2$ обращается в ноль, и уравнение не является квадратным.

Ответ: $\sqrt{11}; -\sqrt{11}$.