Страница 78 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Даны уравнения:

a) $9x^2 - x = 0$;

б) $8x - 3 + x^2 = 0$;

в) $3x^4 + x^2 - 5 = 0.$

Какие из данных уравнений являются квадратными?

1) а, б, в

2) а, б

3) а, в

4) б, в

Квадратным уравнением называется уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — числовые коэффициенты, причем старший коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$). Основным признаком квадратного уравнения является то, что наивысшая степень переменной в нем равна 2.

Рассмотрим каждое из предложенных уравнений:

а) $9x^2 - x = 0$

В этом уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Уравнение соответствует стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=9$, $b=-1$ и $c=0$. Так как старший коэффициент $a=9 \neq 0$, это уравнение является квадратным.

б) $8x - 3 + x^2 = 0$

Чтобы привести это уравнение к стандартному виду, расположим его члены в порядке убывания степеней переменной: $x^2 + 8x - 3 = 0$. Наивысшая степень переменной $x$ здесь также равна 2. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$ и $c=-3$. Так как старший коэффициент $a=1 \neq 0$, это уравнение является квадратным.

в) $3x^4 + x^2 - 5 = 0$

В этом уравнении наивысшая степень переменной $x$ равна 4. Поскольку степень переменной не равна 2, это уравнение не является квадратным. Такое уравнение называется биквадратным.

Таким образом, квадратными являются уравнения под буквами а и б. Этот вариант соответствует номеру 2 в предложенных ответах.

Ответ: 2

2. Укажите неполное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен $-2$, а второй коэффициент равен $4$.

1) $-2x^2 + 4 = 0$

2) $4x^2 - 2 = 0$

3) $-2x^2 + 4x = 0$

4) $-2x^2 + 4x + 1 = 0$

Общий вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$, и $c$ — числовые коэффициенты, причем $a \neq 0$. В этом уравнении $a$ — это старший (или первый) коэффициент, $b$ — это второй коэффициент, а $c$ — это свободный член.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю.

Согласно условию задачи, нам необходимо найти неполное квадратное уравнение, у которого:
- старший коэффициент $a = -2$;
- второй коэффициент $b = 4$.

Поскольку уравнение должно быть неполным, а второй коэффициент $b=4$ (не равен нулю), то для выполнения условия неполного уравнения свободный член $c$ должен быть равен нулю ($c=0$).

Подставим значения коэффициентов $a=-2$, $b=4$ и $c=0$ в общую форму квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Получим:
$-2x^2 + 4x + 0 = 0$
что равносильно
$-2x^2 + 4x = 0$

Теперь проанализируем предложенные варианты ответов, чтобы найти тот, который совпадает с полученным нами уравнением.

1) $-2x^2 + 4 = 0$
В этом уравнении коэффициенты: $a = -2$, $b = 0$, $c = 4$. Старший коэффициент $a=-2$ совпадает с условием, но второй коэффициент $b=0$, а по условию он должен быть равен 4. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $4x^2 - 2 = 0$
В этом уравнении коэффициенты: $a = 4$, $b = 0$, $c = -2$. Старший коэффициент $a=4$, а по условию он должен быть равен -2. Следовательно, этот вариант не подходит.

3) $-2x^2 + 4x = 0$
В этом уравнении коэффициенты: $a = -2$, $b = 4$, $c = 0$. Старший коэффициент $a=-2$ и второй коэффициент $b=4$ полностью соответствуют условию. Так как свободный член $c=0$, уравнение является неполным. Следовательно, этот вариант является правильным.

4) $-2x^2 + 4x + 1 = 0$
В этом уравнении коэффициенты: $a = -2$, $b = 4$, $c = 1$. Старший и второй коэффициенты соответствуют условию. Однако, поскольку и $b \neq 0$, и $c \neq 0$, это уравнение является полным, а не неполным. Следовательно, этот вариант не подходит.

Таким образом, единственное уравнение, которое удовлетворяет всем условиям задачи, находится под номером 3.

Ответ: 3

3. Решите уравнение:

1) $3x^2 - 75x = 0;$

2) $3x^2 - 75 = 0;$

3) $(3x - 1)(x + 4) = 11x + 11;$

4) $x^2 - 14|x| = 0.$

1) $3x^2 - 75x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 25) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$3x = 0$ или $x - 25 = 0$

Из первого уравнения получаем $x_1 = 0$.

Из второго уравнения получаем $x_2 = 25$.

Ответ: $0; 25$.

2) $3x^2 - 75 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x^2 = 75$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{75}{3}$

$x^2 = 25$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{25}$

Таким образом, $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Ответ: $-5; 5$.

3) $(3x - 1)(x + 4) = 11x + 11$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x \cdot x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot x - 1 \cdot 4 = 11x + 11$

$3x^2 + 12x - x - 4 = 11x + 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 + 11x - 4 = 11x + 11$

Перенесем все члены из правой части в левую, изменив их знаки:

$3x^2 + 11x - 4 - 11x - 11 = 0$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 15 = 0$

Теперь решим получившееся неполное квадратное уравнение:

$3x^2 = 15$

$x^2 = \frac{15}{3}$

$x^2 = 5$

$x = \pm\sqrt{5}$

Таким образом, $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $-\sqrt{5}; \sqrt{5}$.

4) $x^2 - 14|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать уравнение в виде:

$|x|^2 - 14|x| = 0$

Вынесем общий множитель $|x|$ за скобки:

$|x|(|x| - 14) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$|x| = 0$ или $|x| - 14 = 0$

Из первого уравнения $|x| = 0$ следует, что $x_1 = 0$.

Из второго уравнения $|x| = 14$ следует, что $x_2 = 14$ и $x_3 = -14$.

Ответ: $-14; 0; 14$.

4. При каком значении $m$ не является квадратным уравнение $(m+3)x^2+(m-2)x-10=0$?

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где главным условием является то, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Если коэффициент $a$ обращается в ноль, уравнение перестает быть квадратным и становится линейным.

В данном уравнении $(m + 3)x^2 + (m - 2)x - 10 = 0$ коэффициент при $x^2$ равен $(m + 3)$.

Для того чтобы уравнение не было квадратным, необходимо приравнять этот коэффициент к нулю:

$m + 3 = 0$

Решим это простое линейное уравнение относительно $m$:

$m = -3$

При этом значении $m$ исходное уравнение принимает вид:

$(-3 + 3)x^2 + (-3 - 2)x - 10 = 0$

$0 \cdot x^2 - 5x - 10 = 0$

$-5x - 10 = 0$

Это уравнение является линейным, а не квадратным.

Ответ: -3