Страница 71 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите выражение, тождественно равное выражению $1,2\sqrt{25b} - 0,5\sqrt{64b} + \frac{2}{3}\sqrt{144b}$.

1) $18b$

2) $18\sqrt{b}$

3) $10b$

4) $10\sqrt{b}$

Для того чтобы найти выражение, тождественно равное данному, необходимо упростить его. Упростим каждый член выражения $1.2\sqrt{25b} - 0.5\sqrt{64b} + \frac{2}{3}\sqrt{144b}$ по отдельности, используя свойство $\sqrt{a \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{c}$ (при условии, что $a \ge 0, c \ge 0$, из чего следует, что $b \ge 0$).

1. Упростим первый член: $1.2\sqrt{25b}$.
Вынесем множитель 25 из-под знака корня: $\sqrt{25} = 5$.
$1.2\sqrt{25b} = 1.2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{b} = 1.2 \cdot 5 \cdot \sqrt{b} = 6\sqrt{b}$.

2. Упростим второй член: $-0.5\sqrt{64b}$.
Вынесем множитель 64 из-под знака корня: $\sqrt{64} = 8$.
$-0.5\sqrt{64b} = -0.5 \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{b} = -0.5 \cdot 8 \cdot \sqrt{b} = -4\sqrt{b}$.

3. Упростим третий член: $\frac{2}{3}\sqrt{144b}$.
Вынесем множитель 144 из-под знака корня: $\sqrt{144} = 12$.
$\frac{2}{3}\sqrt{144b} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{b} = \frac{2}{3} \cdot 12 \cdot \sqrt{b} = \frac{2 \cdot 12}{3}\sqrt{b} = 2 \cdot 4\sqrt{b} = 8\sqrt{b}$.

4. Теперь сложим все полученные упрощенные члены:
$6\sqrt{b} - 4\sqrt{b} + 8\sqrt{b}$.
Так как все слагаемые содержат одинаковый множитель $\sqrt{b}$, мы можем сложить их коэффициенты:
$(6 - 4 + 8)\sqrt{b} = (2 + 8)\sqrt{b} = 10\sqrt{b}$.

Таким образом, исходное выражение тождественно равно $10\sqrt{b}$. Это соответствует варианту ответа под номером 4.
Ответ: $10\sqrt{b}$.

2. Чему равно значение выражения $(2\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{48}$?

1) 13

2) 7

3) $13 - 4\sqrt{3}$

4) $13 + 4\sqrt{3}$

Чтобы найти значение выражения $(2\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{48}$, нужно выполнить действия в правильном порядке: сначала возведение в степень, затем вычитание. Для этого упростим каждый член выражения по отдельности.

1. Упростим первый член $(2\sqrt{3} + 1)^2$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 2\sqrt{3}$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2\sqrt{3} + 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 1 + 1^2$

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

$2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 1 = 4\sqrt{3}$.

$1^2 = 1$.

Сложим полученные результаты:

$12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}$.

2. Упростим второй член $\sqrt{48}$.

Чтобы упростить корень, вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 48 на множители, один из которых является полным квадратом.

$48 = 16 \cdot 3$.

Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

3. Выполним вычитание.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:

$(2\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{48} = (13 + 4\sqrt{3}) - 4\sqrt{3}$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$13 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 13$.

Таким образом, значение выражения равно 13.

Ответ: 13.

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^{21}}$;

2) $\sqrt{9a^{18}b}$, если $a < 0$;

3) $\sqrt{x^{11}y^{11}}$, если $x \le 0, y \le 0$.

1)

Для того чтобы выражение $\sqrt{-m^{21}}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^{21} \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $m^{21} \le 0$. Так как степень нечетная, это неравенство выполняется только при $m \le 0$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Представим $m^{21}$ как произведение $m^{20} \cdot m$: $\sqrt{-m^{21}} = \sqrt{-(m^{20} \cdot m)} = \sqrt{m^{20} \cdot (-m)}$.

Используем свойство корня $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Поскольку $m^{20} = (m^{10})^2 \ge 0$ и $-m \ge 0$ (так как $m \le 0$), мы можем записать: $\sqrt{m^{20} \cdot (-m)} = \sqrt{m^{20}} \cdot \sqrt{-m}$.

Далее, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем: $\sqrt{m^{20}} = \sqrt{(m^{10})^2} = |m^{10}|$. Поскольку $m^{10}$ является четной степенью, $m^{10} \ge 0$ для любого $m$. Следовательно, $|m^{10}| = m^{10}$.

Собирая все вместе, получаем: $\sqrt{-m^{21}} = m^{10}\sqrt{-m}$.

Ответ: $m^{10}\sqrt{-m}$.

2)

Рассмотрим выражение $\sqrt{9a^{18}b}$ при условии $a < 0$. Подкоренное выражение $9a^{18}b$ должно быть неотрицательным. Так как $9 > 0$ и $a^{18} = (a^9)^2 \ge 0$ для любого $a$, то для выполнения условия $9a^{18}b \ge 0$ необходимо, чтобы $b \ge 0$.

Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt{xyz} = \sqrt{x}\sqrt{y}\sqrt{z}$: $\sqrt{9a^{18}b} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{18}} \cdot \sqrt{b}$.

Вычислим каждый множитель отдельно: $\sqrt{9} = 3$. $\sqrt{a^{18}} = \sqrt{(a^9)^2} = |a^9|$.

По условию $a < 0$. Так как $a$ — отрицательное число, его нечетная степень $a^9$ также будет отрицательной ($a^9 < 0$). Следовательно, модуль этого выражения равен ему с противоположным знаком: $|a^9| = -a^9$.

Объединим полученные результаты: $3 \cdot (-a^9) \cdot \sqrt{b} = -3a^9\sqrt{b}$.

Ответ: $-3a^9\sqrt{b}$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{11}y^{11}}$ при условиях $x \le 0$ и $y \le 0$. Проверим, что подкоренное выражение неотрицательно. Его можно записать как $(xy)^{11}$. Поскольку $x \le 0$ и $y \le 0$, их произведение $xy \ge 0$. Нечетная степень неотрицательного числа также неотрицательна, поэтому $(xy)^{11} \ge 0$. Выражение имеет смысл.

Для вынесения множителей представим степени в виде произведения множителей с четными степенями: $\sqrt{x^{11}y^{11}} = \sqrt{(x^{10} \cdot x) \cdot (y^{10} \cdot y)} = \sqrt{x^{10}y^{10}xy}$.

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt{x^{10}y^{10}xy} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{10}} \cdot \sqrt{xy}$.

Упростим корни из четных степеней, используя $\sqrt{a^2}=|a|$: $\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$. $\sqrt{y^{10}} = \sqrt{(y^5)^2} = |y^5|$.

По условию $x \le 0$, значит, его нечетная степень $x^5$ также будет неположительной ($x^5 \le 0$). Поэтому $|x^5| = -x^5$. Аналогично, по условию $y \le 0$, значит, $y^5 \le 0$, и $|y^5| = -y^5$.

Подставим полученные выражения обратно: $(-x^5) \cdot (-y^5) \cdot \sqrt{xy} = x^5y^5\sqrt{xy}$.

Ответ: $x^5y^5\sqrt{xy}$.

4. Внесите множитель под знак корня:

1) $b\sqrt{-b^3}$;

2) $a^2b\sqrt{ab}$, если $b \le 0$.

1) $b\sqrt{-b^3}$

Чтобы внести множитель $b$ под знак корня, сначала определим область допустимых значений для переменной $b$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-b^3 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$b^3 \le 0$
Это неравенство выполняется только при $b \le 0$.

Поскольку множитель $b$ является неположительным числом ($b \le 0$), при внесении его под знак квадратного корня перед корнем ставится знак «минус», а сам множитель возводится в квадрат. Используем правило: если $c \le 0$, то $c\sqrt{x} = -\sqrt{c^2x}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$b\sqrt{-b^3} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b^3)} = -\sqrt{-b^{2+3}} = -\sqrt{-b^5}$.

Ответ: $-\sqrt{-b^5}$.

2) $a^2b\sqrt{ab}$, если $b \le 0$

В этом выражении нужно внести множитель $a^2b$ под знак корня. Определим знак этого множителя, учитывая заданное условие $b \le 0$.

Множитель $a^2$ всегда неотрицателен, так как является квадратом числа, то есть $a^2 \ge 0$.
Множитель $b$ по условию неположителен, то есть $b \le 0$.
Следовательно, произведение $a^2b$ будет неположительным числом (произведение неотрицательного и неположительного числа): $a^2b \le 0$.

Так как множитель $a^2b$ неположителен, используем то же правило, что и в предыдущем пункте: $c\sqrt{x} = -\sqrt{c^2x}$ для $c \le 0$.
Вносим множитель $a^2b$ под знак корня:
$a^2b\sqrt{ab} = -\sqrt{(a^2b)^2 \cdot (ab)}$
Теперь упростим выражение под корнем:
$-\sqrt{(a^2b)^2 \cdot (ab)} = -\sqrt{(a^4b^2) \cdot (ab)} = -\sqrt{a^4 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = -\sqrt{a^5b^3}$.
(Отметим, что для существования корня $\sqrt{ab}$ при $b \le 0$ необходимо, чтобы $a \le 0$ (или $b=0$). Это не влияет на процесс внесения множителя, так как знак $a^2b$ уже определен).

Ответ: $-\sqrt{a^5b^3}$.

5. Найдите значение выражения

$(\sqrt{54} + \sqrt{32} - 2\sqrt{8}) \cdot \sqrt{2} - \sqrt{108}$.

Для нахождения значения выражения выполним действия по порядку. Сначала раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{2}$, а затем выполним вычитание.

1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения $(a+b)c = ac + bc$ и свойство корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$(\sqrt{54} + \sqrt{32} - 2\sqrt{8}) \cdot \sqrt{2} - \sqrt{108} = \sqrt{54} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{108}$

2. Выполним умножение подкоренных выражений:

$\sqrt{54 \cdot 2} + \sqrt{32 \cdot 2} - 2\sqrt{8 \cdot 2} - \sqrt{108} = \sqrt{108} + \sqrt{64} - 2\sqrt{16} - \sqrt{108}$

3. Упростим выражение. Заметим, что $\sqrt{108}$ и $-\sqrt{108}$ взаимно уничтожаются:

$(\sqrt{108} - \sqrt{108}) + \sqrt{64} - 2\sqrt{16} = 0 + \sqrt{64} - 2\sqrt{16}$

4. Вычислим значения оставшихся корней:

$\sqrt{64} = 8$

$\sqrt{16} = 4$

5. Подставим полученные значения в выражение и вычислим результат:

$8 - 2 \cdot 4 = 8 - 8 = 0$

Ответ: 0

6. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{13}-13}{2\sqrt{13}};$

2) $\frac{a-2\sqrt{5a}+5}{a-5}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{13} - 13}{2\sqrt{13}}$, вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{13}$ за скобки. Для этого представим число $13$ как $(\sqrt{13})^2$.

$\frac{\sqrt{13} - 13}{2\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13} - (\sqrt{13})^2}{2\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}(1 - \sqrt{13})}{2\sqrt{13}}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $\sqrt{13}$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\sqrt{13}(1 - \sqrt{13})}{2\sqrt{13}} = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 2\sqrt{5a} + 5}{a - 5}$, разложим на множители числитель и знаменатель. ОДЗ: $a \ge 0$, $a \neq 5$.

Числитель $a - 2\sqrt{5a} + 5$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{5}$, получаем:

$a - 2\sqrt{5a} + 5 = (\sqrt{a})^2 - 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{5})^2$

Знаменатель $a - 5$ разложим на множители как разность квадратов, используя формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{5}$:

$a - 5 = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{5})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{5})(\sqrt{a} + \sqrt{5})}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{a} - \sqrt{5})$:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$

Ответ: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{\sqrt{a} + \sqrt{5}}$

7. Найдите значение выражения:

$\frac{1}{\sqrt{7} + 2} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} + \frac{1}{4 + \sqrt{13}}$

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить каждое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, используя формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Сначала представим целые числа в знаменателях в виде квадратных корней, чтобы привести все слагаемые к единому виду: $2 = \sqrt{4}$ и $4 = \sqrt{16}$.

Исходное выражение можно переписать так:

$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{13}} $

Теперь последовательно упростим каждое слагаемое.

1. Первое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{4}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{7} - \sqrt{4})}{(\sqrt{7} + \sqrt{4})(\sqrt{7} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{4})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{7 - 4} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{3} $

2. Второе слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{10} - \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} $

3. Третье слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{13} + \sqrt{10}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{10})}{(\sqrt{13} + \sqrt{10})(\sqrt{13} - \sqrt{10})} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{13 - 10} = \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{3} $

4. Четвертое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{16} + \sqrt{13}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{16} - \sqrt{13})}{(\sqrt{16} + \sqrt{13})(\sqrt{16} - \sqrt{13})} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{(\sqrt{16})^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{16 - 13} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Теперь сложим все полученные упрощенные дроби:

$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4}}{3} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3} + \frac{\sqrt{13} - \sqrt{10}}{3} + \frac{\sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель $3$, сложим их числители:

$ \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{4}) + (\sqrt{10} - \sqrt{7}) + (\sqrt{13} - \sqrt{10}) + (\sqrt{16} - \sqrt{13})}{3} $

Раскроем скобки в числителе. Многие слагаемые взаимно уничтожаются:

$ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{4} + \sqrt{10} - \sqrt{7} + \sqrt{13} - \sqrt{10} + \sqrt{16} - \sqrt{13}}{3} $

Сгруппируем слагаемые, чтобы увидеть сокращение:

$ \frac{(-\sqrt{4} + \sqrt{16}) + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) + (\sqrt{10} - \sqrt{10}) + (\sqrt{13} - \sqrt{13})}{3} = \frac{-\sqrt{4} + \sqrt{16}}{3} $

Вычислим оставшиеся значения:

$ \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $