Страница 64 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неверное утверждение.

1) $5000 \in \mathbf{Z}$

2) $-5000 \in \mathbf{N}$

3) $-16,7 \in \mathbf{Q}$

4) $\frac{\pi}{2} \in \mathbf{R}$

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проверить каждое из них, основываясь на определениях основных числовых множеств.

• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ — это целые положительные числа, используемые при счете.
• Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ — это натуральные числа, им противоположные и ноль.
• Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).
• Множество действительных (вещественных) чисел $R$ — это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Теперь проанализируем каждое утверждение:

1) $5000 \in Z$

Это утверждение гласит, что число 5000 принадлежит множеству целых чисел. Число 5000 является положительным целым числом, поэтому по определению оно входит в множество $Z$. Следовательно, это утверждение верно.

2) $-5000 \in N$

Это утверждение гласит, что число -5000 принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел $N$ состоит только из положительных целых чисел. Число -5000 является отрицательным, поэтому оно не может принадлежать множеству натуральных чисел. Следовательно, это утверждение неверно.

3) $-16,7 \in Q$

Это утверждение гласит, что число -16,7 принадлежит множеству рациональных чисел. Любое число, которое можно представить в виде конечной десятичной дроби, является рациональным. Число -16,7 можно записать в виде дроби $-\frac{167}{10}$. Так как числитель (-167) является целым числом, а знаменатель (10) — натуральным, это число является рациональным. Следовательно, это утверждение верно.

4) $\frac{\pi}{2} \in R$

Это утверждение гласит, что число $\frac{\pi}{2}$ принадлежит множеству действительных чисел. Число $\pi$ (пи) является иррациональным, а любое иррациональное число также является действительным. Результат деления действительного числа ($\pi$) на ненулевое действительное число (2) также всегда является действительным числом. Следовательно, это утверждение верно.

По результатам анализа, единственным неверным утверждением является второе.

Ответ: 2.

2. Какое из данных чисел является иррациональным?

1) $\sqrt{6,4}$

2) $\sqrt{0,64}$

3) $\sqrt{0,0064}$

4) $\sqrt{6400}$

Чтобы определить, какое из данных чисел является иррациональным, проанализируем каждое из них. Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде конечной десятичной дроби или периодической дроби (т.е. в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое, а $n$ - натуральное). Квадратный корень из числа будет рациональным, только если подкоренное выражение является точным квадратом рационального числа.

1) $\sqrt{6,4}$
Представим $6,4$ в виде обыкновенной дроби: $6,4 = \frac{64}{10}$.
Тогда $\sqrt{6,4} = \sqrt{\frac{64}{10}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$.
Поскольку число 10 не является точным квадратом целого числа, $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Следовательно, и все выражение $\frac{8}{\sqrt{10}}$ является иррациональным.

2) $\sqrt{0,64}$
Так как $0,8^2 = 0,64$, то $\sqrt{0,64} = 0,8$.
Число $0,8$ — это конечная десятичная дробь, следовательно, оно рациональное.

3) $\sqrt{0,0064}$
Представим $0,0064$ в виде дроби: $0,0064 = \frac{64}{10000}$.
Тогда $\sqrt{0,0064} = \sqrt{\frac{64}{10000}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{10000}} = \frac{8}{100} = 0,08$.
Число $0,08$ — это конечная десятичная дробь, следовательно, оно рациональное.

4) $\sqrt{6400}$
Так как $80^2 = 6400$, то $\sqrt{6400} = 80$.
Число $80$ — целое, следовательно, оно рациональное.

Таким образом, единственным иррациональным числом из предложенных вариантов является $\sqrt{6,4}$.

Ответ: 1

3. Пусть $A$ — множество делителей числа 28, $B$ — множество делителей числа 42.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество $A$ и множество $B$.

2) Найдите пересечение множеств $A$ и $B$.

3) Найдите объединение множеств $A$ и $B$.

4) Запишите все пятиэлементные подмножества множества $A$.

1) Задайте с помощью перечисления элементов множество А и множество В.

Множество A — это множество всех натуральных делителей числа 28. Найдем эти делители, перебирая пары множителей:
$1 \cdot 28 = 28$
$2 \cdot 14 = 28$
$4 \cdot 7 = 28$
Таким образом, делителями числа 28 являются числа 1, 2, 4, 7, 14, 28.
Множество A: $A = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.

Множество B — это множество всех натуральных делителей числа 42. Найдем их:
$1 \cdot 42 = 42$
$2 \cdot 21 = 42$
$3 \cdot 14 = 42$
$6 \cdot 7 = 42$
Таким образом, делителями числа 42 являются числа 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Множество B: $B = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$.
Ответ: $A = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$, $B = \{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$.

2) Найдите пересечение множеств А и В.

Пересечение множеств $A \cap B$ — это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Сравним элементы двух множеств:
$A = \{{\bf 1}, {\bf 2}, 4, {\bf 7}, {\bf 14}, 28\}$
$B = \{{\bf 1}, {\bf 2}, 3, 6, {\bf 7}, {\bf 14}, 21, 42\}$
Общими элементами являются 1, 2, 7, 14.
Ответ: $A \cap B = \{1, 2, 7, 14\}$.

3) Найдите объединение множеств А и В.

Объединение множеств $A \cup B$ — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Для нахождения объединения мы перечисляем все элементы из обоих множеств без повторений и, как правило, в порядке возрастания.
Элементы множества A: $\{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$.
Элементы множества B: $\{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42\}$.
Объединяя их, получаем: $\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 28, 42\}$.
Ответ: $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 28, 42\}$.

4) Запишите все пятиэлементные подмножества множества А.

Множество $A = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\}$ содержит 6 элементов. Пятиэлементное подмножество можно получить, если из исходного множества A удалить ровно один элемент. Поскольку в множестве A 6 элементов, существует 6 способов удалить один элемент, а значит, существует 6 пятиэлементных подмножеств.
Перечислим их все:
1. Удаляем элемент 28: $\{1, 2, 4, 7, 14\}$
2. Удаляем элемент 14: $\{1, 2, 4, 7, 28\}$
3. Удаляем элемент 7: $\{1, 2, 4, 14, 28\}$
4. Удаляем элемент 4: $\{1, 2, 7, 14, 28\}$
5. Удаляем элемент 2: $\{1, 4, 7, 14, 28\}$
6. Удаляем элемент 1: $\{2, 4, 7, 14, 28\}$
Ответ: $\{1, 2, 4, 7, 14\}$, $\{1, 2, 4, 7, 28\}$, $\{1, 2, 4, 14, 28\}$, $\{1, 2, 7, 14, 28\}$, $\{1, 4, 7, 14, 28\}$, $\{2, 4, 7, 14, 28\}$.

4. Запишите множество корней уравнения:

1) $(x^2 - 64)(x^2 - 8x) = 0;$

2) $\sqrt{x^2 - 64} + \sqrt{x^2 - 8x} = 0;$

3) $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} = 0.$

1) Уравнение $(x^2 - 64)(x^2 - 8x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x^2 - 64 = 0$ или $x^2 - 8x = 0$.

Решим первое уравнение:

$x^2 - 64 = 0$

$x^2 = 64$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$.

Решим второе уравнение:

$x^2 - 8x = 0$

$x(x - 8) = 0$

$x_3 = 0$ или $x - 8 = 0$, откуда $x_4 = 8$.

Объединив все найденные уникальные корни, получим множество корней исходного уравнения.

Ответ: $\{-8, 0, 8\}$.

2) Уравнение $\sqrt{x^2 - 64} + \sqrt{x^2 - 8x} = 0$.

Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если оба числа равны нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 64} = 0 \\ \sqrt{x^2 - 8x} = 0 \end{cases}$

Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим равносильную систему:

$\begin{cases} x^2 - 64 = 0 \\ x^2 - 8x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корни: $x^2 = 64 \implies x = 8$ или $x = -8$.

Из второго уравнения находим корни: $x(x - 8) = 0 \implies x = 0$ или $x = 8$.

Решением системы является значение $x$, которое удовлетворяет обоим уравнениям одновременно. Единственным общим корнем является $x=8$.

Ответ: $\{8\}$.

3) Уравнение $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4 - x} = 0$.

Аналогично предыдущему пункту, сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{x + 4} = 0 \\ \sqrt{4 - x} = 0 \end{cases}$

Что равносильно системе:

$\begin{cases} x + 4 = 0 \\ 4 - x = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x = -4$.

Из второго уравнения следует, что $x = 4$.

Поскольку переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения ($-4$ и $4$), данная система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$.

5. Сравните числа:

1) $\frac{37}{9}$ и $4,115$;

2) $-3,(23)$ и $-3,23$.

1) Для того чтобы сравнить числа $\frac{37}{9}$ и $4,115$, представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого необходимо разделить числитель на знаменатель.

$37 \div 9 = 4,111...$

Мы получили бесконечную периодическую десятичную дробь, которую можно записать как $4,(1)$.

Теперь сравним две десятичные дроби: $4,(1)$ и $4,115$. Запишем их друг под другом, чтобы было удобнее сравнивать по разрядам:

$4,1111...$

$4,1150...$

Начинаем сравнение с самого старшего разряда (слева направо):

• Целые части равны: $4 = 4$.
• Цифры в разряде десятых равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотых равны: $1 = 1$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: $1 < 5$.

Поскольку в первом же различающемся разряде цифра у первого числа меньше, чем у второго, то и само первое число меньше второго: $4,(1) < 4,115$.

Следовательно, $\frac{37}{9} < 4,115$.

Ответ: $\frac{37}{9} < 4,115$.

2) Необходимо сравнить два отрицательных числа: $-3,(23)$ и $-3,23$.

Число $-3,(23)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, равная $-3,232323...$.

Число $-3,23$ — это конечная десятичная дробь.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сначала сравним модули данных чисел: $|-3,(23)| = 3,(23)$ и $|-3,23| = 3,23$.

Запишем их в развернутом виде для поразрядного сравнения:

$3,(23) = 3,2323...$

$3,23 = 3,2300...$

• Целые части равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде десятых равны: $2 = 2$.
• Цифры в разряде сотых равны: $3 = 3$.
• Цифры в разряде тысячных различаются: $2 > 0$.

Так как в первом различающемся разряде цифра у первого числа больше, то $3,2323... > 3,2300...$, а значит $3,(23) > 3,23$.

Мы выяснили, что $|-3,(23)| > |-3,23|$. Согласно правилу сравнения отрицательных чисел, число с большим модулем будет меньше. Таким образом, $-3,(23) < -3,23$.

Ответ: $-3,(23) < -3,23$.