Страница 60 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $n$ верно равенство $\sqrt{n} = 0,7$?

1) 0,14 2) 0,49 3) 1,4 4) 4,9

Чтобы найти значение n, при котором верно равенство $\sqrt{n} = 0,7$, необходимо возвести обе части этого равенства в квадрат. Это действие является обратным к извлечению квадратного корня и позволит нам найти n.

Запишем операцию возведения в квадрат для обеих частей уравнения:
$(\sqrt{n})^2 = (0,7)^2$

Теперь выполним вычисления. В левой части возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное выражение, то есть n. В правой части необходимо вычислить квадрат числа 0,7:
$n = 0,7 \cdot 0,7$
$n = 0,49$

Таким образом, искомое значение n равно 0,49. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 2).

Ответ: 0,49

2. Укажите значение выражения $ \frac{(4\sqrt{2})^2}{16} $

1) $ \frac{1}{2} $

2) 1

3) 2

4) 4

Для нахождения значения выражения $\frac{(4\sqrt{2})^2}{16}$ необходимо последовательно выполнить вычисления.

Сначала возведем в квадрат выражение в числителе $(4\sqrt{2})^2$. Для этого воспользуемся свойством степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

$(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2$

Теперь вычислим каждый множитель по отдельности:

$4^2 = 16$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Результат в числителе будет равен произведению этих значений:

$16 \cdot 2 = 32$

Теперь подставим полученное значение обратно в исходную дробь:

$\frac{32}{16}$

Выполним деление:

$32 \div 16 = 2$

Таким образом, значение выражения равно 2, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 2

3. Найдите значение выражения

$\sqrt{7^3 + 18 - 4,8 \cdot \sqrt{7 \frac{9}{16}} \cdot \sqrt{6,25}}$

Для того чтобы найти значение выражения, выполним вычисления по действиям.

1. Сначала вычислим значение первого члена $ \sqrt{7^3 + 18} $.

Возведем в степень и сложим числа под корнем:

$ 7^3 + 18 = 343 + 18 = 361 $.

Теперь извлечем квадратный корень:

$ \sqrt{361} = 19 $.

2. Далее вычислим значение произведения $ 4,8 \cdot \sqrt{7\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{6,25} $.

Упростим каждый из множителей:

$ \sqrt{7\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 16 + 9}{16}} = \sqrt{\frac{112 + 9}{16}} = \sqrt{\frac{121}{16}} = \frac{11}{4} $.

$ \sqrt{6,25} = \sqrt{(2,5)^2} = 2,5 $.

Для удобства дальнейших вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$ 4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5} $

$ 2,5 = \frac{5}{2} $

Теперь перемножим полученные значения:

$ \frac{24}{5} \cdot \frac{11}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{24 \cdot 11 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{24 \cdot 11}{8} = 3 \cdot 11 = 33 $.

3. Наконец, найдем разность результатов, полученных в первом и втором действиях:

$ 19 - 33 = -14 $.

Ответ: -14

4. Решите уравнение:

1) $(x + 8)^2 = 36;$

2) $(x + 8)^2 = 37;$

3) $(4x + 3)^2 = 5;$

4) $\frac{24}{\sqrt{x - 7}} = 6;$

5) $\sqrt{2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}}} = 3;$

6) $(x - 7)\sqrt{x - 10} = 0.$

1) $(x + 8)^2 = 36$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Это приведет к двум возможным случаям:

$x + 8 = \sqrt{36}$ или $x + 8 = -\sqrt{36}$

$x + 8 = 6$ или $x + 8 = -6$

Теперь решим каждое из этих линейных уравнений:

Для первого случая: $x_1 = 6 - 8 = -2$.

Для второго случая: $x_2 = -6 - 8 = -14$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -14$.

2) $(x + 8)^2 = 37$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x + 8 = \sqrt{37}$ или $x + 8 = -\sqrt{37}$

Выражаем $x$ для каждого случая:

$x_1 = -8 + \sqrt{37}$

$x_2 = -8 - \sqrt{37}$

Эти два решения можно записать в компактной форме.

Ответ: $x = -8 \pm \sqrt{37}$.

3) $(4x + 3)^2 = 5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$4x + 3 = \sqrt{5}$ или $4x + 3 = -\sqrt{5}$

Решаем каждое уравнение относительно $x$:

1. $4x = -3 + \sqrt{5} \implies x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$

2. $4x = -3 - \sqrt{5} \implies x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$

Ответ: $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$.

4) $\frac{24}{\sqrt{x - 7}} = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю, и выражение под корнем должно быть неотрицательным. Объединив эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$x - 7 > 0 \implies x > 7$.

Теперь решаем уравнение. Умножим обе части на $\sqrt{x-7}$:

$24 = 6\sqrt{x - 7}$

Разделим обе части на 6:

$\sqrt{x - 7} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x - 7 = 16$

$x = 16 + 7 = 23$

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $23 > 7$. Да, удовлетворяет.

Ответ: $x = 23$.

5) $\sqrt{2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}}} = 3$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:

$2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}} = 3^2$

$2 + \sqrt{30 + \sqrt{x}} = 9$

Вычтем 2 из обеих частей:

$\sqrt{30 + \sqrt{x}} = 7$

Снова возведем обе части в квадрат:

$30 + \sqrt{x} = 7^2$

$30 + \sqrt{x} = 49$

Вычтем 30 из обеих частей:

$\sqrt{x} = 19$

Еще раз возведем в квадрат:

$x = 19^2 = 361$

Корень $x = 361$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 361$.

6) $(x - 7)\sqrt{x - 10} = 0$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$x - 10 \ge 0 \implies x \ge 10$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, и при этом все выражения имеют смысл.

Рассмотрим два случая:

1. $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Этот корень не входит в ОДЗ ($7 < 10$), поэтому он является посторонним.

2. $\sqrt{x - 10} = 0 \implies x - 10 = 0 \implies x = 10$. Этот корень входит в ОДЗ ($10 \ge 10$), поэтому он является решением.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 10$.

5. Постройте график функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 16} - 2$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{8x - x^2 - 16} - 2$ сначала найдем ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$8x - x^2 - 16 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 8x + 16 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - 4)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, то есть $(x - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 4)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 4)^2 = 0$.

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Таким образом, область определения функции состоит из единственной точки $x = 4$.

Теперь найдем значение функции $y$ в этой точке, подставив $x = 4$ в исходное уравнение:

$y = \sqrt{8 \cdot 4 - 4^2 - 16} - 2 = \sqrt{32 - 16 - 16} - 2 = \sqrt{0} - 2 = 0 - 2 = -2$

Так как функция определена только в одной точке $x = 4$, где ее значение равно $y = -2$, то ее график представляет собой одну точку с координатами $(4; -2)$.

Ответ: Графиком функции является точка с координатами $(4; -2)$.