Страница 57 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении y является верным равенство

$\sqrt{y} = 0,4$?

1) 0,4 2) 1,6 3) 0,16 4) 0,04

Чтобы найти значение y, при котором равенство $\sqrt{y} = 0,4$ является верным, нужно решить данное уравнение.

Для этого необходимо избавиться от знака квадратного корня. Это можно сделать, возведя обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{y})^2 = (0,4)^2$

Левая часть уравнения, $(\sqrt{y})^2$, упрощается до y. Правая часть, $(0,4)^2$, вычисляется как произведение 0,4 на 0,4:

$y = 0,4 \times 0,4$

$y = 0,16$

Таким образом, искомое значение y равно 0,16. Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 0,16

2. Укажите значение выражения $\frac{(3\sqrt{2})^2}{18}$.

1) $\frac{1}{3}$

2) $\frac{1}{2}$

3) $1$

4) $2$

Для нахождения значения данного выражения необходимо упростить числитель и затем выполнить деление.

1. Рассмотрим числитель дроби: $(3\sqrt{2})^2$.

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n \cdot b^n$. Применим его к нашему выражению:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2$

2. Вычислим каждую часть по отдельности:

$3^2 = 9$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

3. Перемножим полученные значения:

$9 \cdot 2 = 18$

4. Теперь подставим результат обратно в исходную дробь:

$\frac{(3\sqrt{2})^2}{18} = \frac{18}{18}$

5. Выполним деление:

$\frac{18}{18} = 1$

Полученное значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 1

3. Найдите значение выражения

$5\sqrt{0.36} \cdot \sqrt{2\frac{7}{9}} - \sqrt{7^2} + 15.$

Для нахождения значения выражения выполним действия в правильном порядке: сначала извлечение корней, затем умножение, и в конце — вычитание и сложение слева направо.

Исходное выражение:

$5\sqrt{0,36} \cdot \sqrt{2\frac{7}{9}} - \sqrt{7^2} + 15$

1. Вычислим значение каждого члена выражения по отдельности.

Найдем значение $5\sqrt{0,36}$:

$\sqrt{0,36} = \sqrt{(0,6)^2} = 0,6$

$5 \cdot 0,6 = 3$

2. Найдем значение $\sqrt{2\frac{7}{9}}$:

Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{7}{9}$ в неправильную дробь:

$2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$

3. Найдем значение $\sqrt{7^2}$:

По свойству квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:

$\sqrt{7^2} = 7$

4. Теперь подставим все вычисленные значения обратно в исходное выражение:

$3 \cdot \frac{5}{3} - 7 + 15$

5. Выполним умножение:

$3 \cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{3} = 5$

6. Выполним оставшиеся действия вычитания и сложения:

$5 - 7 + 15 = -2 + 15 = 13$

Ответ: 13

4. Решите уравнение:

1) $x^2 = 1,21$;

2) $x^2 = 42$;

3) $x^2 = -81$;

4) $\sqrt{3x - 5} = 0$;

5) $\sqrt{3x - 5} = 0$;

6) $\sqrt{3x - 5} = 4$.

1) Дано уравнение $x^2 = 1,21$.
Чтобы найти $x$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение вида $x^2 = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
$x = \pm\sqrt{1,21}$
Поскольку $1,1^2 = 1,21$, то $\sqrt{1,21} = 1,1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\pm 1,1$.

2) Дано уравнение $x^2 = 42$.
Аналогично предыдущему пункту, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.
$x = \pm\sqrt{42}$
Число 42 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Ответ можно оставить в виде корня.
Ответ: $\pm\sqrt{42}$.

3) Дано уравнение $x^2 = -81$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. В данном уравнении требуется найти такое число $x$, квадрат которого равен отрицательному числу. В множестве действительных чисел такого числа не существует, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

4) Дано уравнение $\sqrt{3x} - 5 = 0$.
Это иррациональное уравнение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3x \ge 0 \implies x \ge 0$.
Теперь решим уравнение. Перенесем 5 в правую часть:
$\sqrt{3x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{3x})^2 = 5^2$
$3x = 25$
$x = \frac{25}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $\frac{25}{3} > 0$, корень подходит.
Ответ: $\frac{25}{3}$.

5) Дано уравнение $\sqrt{3x - 5} = 0$.
Определим ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3}$.
Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.
$3x - 5 = 0$
$3x = 5$
$x = \frac{5}{3}$
Найденный корень $x = \frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$).
Ответ: $\frac{5}{3}$.

6) Дано уравнение $\sqrt{3x - 5} = 4$.
Определим ОДЗ: $3x - 5 \ge 0 \implies x \ge \frac{5}{3}$.
Правая часть уравнения ($4$) является положительным числом, поэтому можно возвести обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{3x - 5})^2 = 4^2$
$3x - 5 = 16$
Перенесем -5 в правую часть, изменив знак:
$3x = 16 + 5$
$3x = 21$
$x = \frac{21}{3}$
$x = 7$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $7 \ge \frac{5}{3}$, следовательно, корень является решением уравнения.
Ответ: $7$.

5. Постройте график функции $y = 4 - (\sqrt{x})^2$.

Для построения графика функции $y = 4 - (\sqrt{x})^2$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции.

Подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции (ОДЗ) — это луч $[0, +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции.

На всей области определения ($x \ge 0$) справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$.
Следовательно, функцию можно записать в виде $y = 4 - x$.

3. Определим вид графика.

Функция $y = 4 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Однако, так как мы рассматриваем эту функцию только при условии $x \ge 0$, её графиком будет не вся прямая, а только её часть — луч, начинающийся на оси $Oy$ (при $x=0$).

4. Найдём координаты ключевых точек для построения.

Для построения луча достаточно двух точек.

• Найдём начальную точку луча. Подставим $x = 0$ в уравнение функции:
  $y = 4 - 0 = 4$.
  Первая точка — $(0, 4)$. Это точка пересечения с осью $Oy$.
• Найдём вторую точку, например, точку пересечения с осью $Ox$. Для этого приравняем $y$ к нулю:
  $0 = 4 - x$
  $x = 4$.
  Вторая точка — $(4, 0)$.

5. Построим график.

В системе координат отметим точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$. Затем проведём через них луч, который начинается в точке $(0, 4)$ и уходит вправо и вниз через точку $(4, 0)$.

Ответ: График функции $y = 4 - (\sqrt{x})^2$ представляет собой луч с началом в точке $(0, 4)$, проходящий через точку $(4, 0)$ и расположенный в первой и четвертой координатных четвертях.