Страница 51 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите среди данных функций обратную пропорциональность.

1) $y = \frac{2x}{3}$

2) $y = \frac{3x}{2}$

3) $y = \frac{2}{3x}$

4) $y = -\frac{3x}{2}$

Обратной пропорциональностью называется функция вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ - это число, не равное нулю, а $x$ - независимая переменная. В такой функции переменная $x$ находится в знаменателе дроби.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1) $y = \frac{2x}{3}$

Данную функцию можно записать как $y = \frac{2}{3}x$. Это формула прямой пропорциональности вида $y = kx$, где $k = \frac{2}{3}$.

2) $y = \frac{3x}{2}$

Данную функцию можно записать как $y = \frac{3}{2}x$. Это также формула прямой пропорциональности вида $y = kx$, где $k = \frac{3}{2}$.

3) $y = \frac{2}{3x}$

В этой функции переменная $x$ находится в знаменателе. Её можно записать в виде $y = \frac{2/3}{x}$. Это формула обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = \frac{2}{3}$.

4) $y = -\frac{3x}{2}$

Данную функцию можно записать как $y = -\frac{3}{2}x$. Это формула прямой пропорциональности вида $y = kx$, где $k = -\frac{3}{2}$.

Следовательно, единственная функция, являющаяся обратной пропорциональностью, — это функция под номером 3.

Ответ: 3.

2. График какой из данных функций изображён на рисунке?

1) $y = \frac{1}{2x}$

2) $y = -\frac{1}{2x}$

3) $y = \frac{2}{x}$

4) $y = -\frac{2}{x}$

На рисунке изображен график обратной пропорциональности, который называется гиперболой. Общий вид уравнения такой функции: $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — ненулевой коэффициент.

Ветви гиперболы на графике расположены в первой и третьей координатных четвертях. Это означает, что коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$).

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

1) $y = \frac{1}{2x}$

Коэффициент $k = \frac{1}{2}$, что больше нуля. Этот вариант подходит по расположению ветвей.

2) $y = -\frac{1}{2x}$

Коэффициент $k = -\frac{1}{2}$, что меньше нуля. График этой функции должен располагаться во второй и четвертой четвертях. Этот вариант не подходит.

3) $y = \frac{2}{x}$

Коэффициент $k = 2$, что больше нуля. Этот вариант подходит по расположению ветвей.

4) $y = -\frac{2}{x}$

Коэффициент $k = -2$, что меньше нуля. График этой функции должен располагаться во второй и четвертой четвертях. Этот вариант не подходит.

Теперь нам нужно выбрать между вариантами 1) и 3). Для этого найдем на графике любую точку с точными целочисленными координатами и подставим их в оставшиеся уравнения.

Из графика видно, что он проходит через точку с координатами $(1, 2)$. Проверим, удовлетворяет ли эта точка уравнениям:

Для функции 1) $y = \frac{1}{2x}$:

Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение: $2 = \frac{1}{2 \cdot 1}$, что приводит к неверному равенству $2 = \frac{1}{2}$. Следовательно, этот вариант не является правильным.

Для функции 3) $y = \frac{2}{x}$:

Подставим $x=1$ и $y=2$ в уравнение: $2 = \frac{2}{1}$, что приводит к верному равенству $2 = 2$.

Для дополнительной проверки можно взять еще одну точку с графика, например, $(2, 1)$.

Подставим $x=2$ и $y=1$ в уравнение $y = \frac{2}{x}$: $1 = \frac{2}{2}$, что также является верным равенством $1=1$.

Таким образом, график на рисунке соответствует функции $y = \frac{2}{x}$.

Ответ: 3

3. Дана функция $y = -\frac{96}{x}$.

Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно -8;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 0,5.

Дана функция $y = -\frac{96}{x}$.

1) значение функции, если значение аргумента равно –8;

Чтобы найти значение функции, необходимо подставить значение аргумента $x = -8$ в исходное уравнение:
$y = -\frac{96}{x} = -\frac{96}{-8}$
При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число:
$y = \frac{96}{8} = 12$
Следовательно, при $x = -8$ значение функции равно 12.
Ответ: 12

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 0,5.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно 0,5, необходимо подставить $y = 0,5$ в уравнение и решить его относительно $x$:
$0,5 = -\frac{96}{x}$
Выразим $x$ из этого уравнения. Для этого можно умножить обе части уравнения на $x$:
$0,5 \cdot x = -96$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части на 0,5:
$x = \frac{-96}{0,5}$
Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:
$x = -96 \cdot 2 = -192$
Следовательно, значение функции равно 0,5 при $x = -192$.
Ответ: -192

4. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(8; -2,5)$. Проходит ли график этой функции через точку $B\left(-1\frac{2}{3}; 12\right)$?

Функция задана уравнением $y = \frac{k}{x}$. По условию, график этой функции проходит через точку A(8; -2,5). Чтобы найти значение коэффициента $k$, подставим координаты точки А в уравнение функции.

При $x = 8$ и $y = -2,5$ получаем:

$-2,5 = \frac{k}{8}$

Отсюда находим $k$:

$k = -2,5 \cdot 8$

$k = -20$

Следовательно, уравнение функции имеет вид: $y = -\frac{20}{x}$.

Теперь проверим, проходит ли график этой функции через точку B($-1\frac{2}{3}$; 12). Для этого нужно подставить координаты точки B в полученное уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

Сначала преобразуем координату $x$ точки B из смешанной дроби в неправильную:

$x = -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$

Подставляем $x = -\frac{5}{3}$ и $y = 12$ в уравнение $y = -\frac{20}{x}$:

$12 = -\frac{20}{-\frac{5}{3}}$

Вычислим значение в правой части равенства:

$-\frac{20}{-\frac{5}{3}} = -20 \div (-\frac{5}{3}) = 20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 \cdot 3}{5} = \frac{60}{5} = 12$

В результате мы получили верное равенство: $12 = 12$.

Это означает, что точка B с координатами ($-1\frac{2}{3}$; 12) лежит на графике функции $y = -\frac{20}{x}$.

Ответ: да, график функции проходит через точку B.

5. Постройте график функции $f(x) = \frac{6x - 18}{x^2 - 3x}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ будет иметь с графиком функции $f$ единственную общую точку.

Построение графика функции $f(x) = \frac{6x - 18}{x^2 - 3x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $x^2 - 3x \neq 0$ $x(x - 3) \neq 0$ Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции, разложив на множители числитель и знаменатель: $f(x) = \frac{6(x - 3)}{x(x - 3)}$ Поскольку $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$: $f(x) = \frac{6}{x}$

3. График функции $f(x)$ совпадает с графиком функции $y = \frac{6}{x}$ на всей области определения, то есть это гипербола с "выколотой" точкой при $x=3$.

4. Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим значение $x=3$ в упрощенную формулу функции: $y = \frac{6}{3} = 2$ Следовательно, точка с координатами $(3; 2)$ не принадлежит графику.

5. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox). Для построения можно использовать несколько точек, например, $(1; 6), (2; 3), (6; 1), (-1; -6), (-2; -3), (-6; -1)$. На полученном графике нужно отметить выколотую точку $(3; 2)$.

Определение значений k, при которых прямая $y = kx$ имеет с графиком функции f единственную общую точку

Прямая $y = kx$ — это прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Количество общих точек прямой и графика функции $f(x)$ равно количеству решений системы уравнений: $ \begin{cases} y = f(x) \\ y = kx \end{cases} $ На области определения функции $f(x)$ это эквивалентно системе: $ \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ y = kx \end{cases} $ с дополнительным условием $x \neq 3$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $kx = \frac{6}{x}$ Умножим обе части на $x$ (мы знаем, что $x \neq 0$): $kx^2 = 6$

Проанализируем количество решений этого уравнения в зависимости от параметра $k$:

• Если $k \le 0$, то левая часть уравнения $kx^2$ будет неположительной ($kx^2 \le 0$), а правая часть равна 6. В этом случае уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, у прямой и графика нет общих точек.
• Если $k > 0$, то уравнение $x^2 = \frac{6}{k}$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{\frac{6}{k}}$ и $x_2 = -\sqrt{\frac{6}{k}}$. Это означает, что прямая $y=kx$ пересекает гиперболу $y=\frac{6}{x}$ в двух точках.

Нам нужно, чтобы прямая имела с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку. Это возможно только в том случае, если одна из двух точек пересечения с гиперболой $y=\frac{6}{x}$ является выколотой точкой, то есть ее абсцисса равна 3.

Подставим $x=3$ в уравнение $kx^2 = 6$: $k \cdot (3)^2 = 6$ $9k = 6$ $k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

При $k=\frac{2}{3}$ (это значение больше нуля, что соответствует нашему случаю) уравнение для абсцисс точек пересечения $x^2 = \frac{6}{k}$ дает $x^2 = \frac{6}{2/3} = 9$. Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

• Корень $x=3$ соответствует выколотой точке $(3; 2)$, поэтому он не является точкой пересечения с графиком $f(x)$.
• Корень $x=-3$ дает общую точку. Найдем ее ординату: $y = kx = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$. Эта точка $(-3; -2)$ принадлежит графику функции $f(x)$.

Таким образом, при $k=\frac{2}{3}$ прямая $y=kx$ проходит через выколотую точку $(3; 2)$ и имеет с графиком функции $f(x)$ ровно одну общую точку $(-3; -2)$.

Ответ: $\frac{2}{3}$