Страница 48 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Представьте выражение $\frac{a^{-4}}{a^9 \cdot a^{-6}}$ в виде степени с основанием a.

1) $a^{-1}$

2) $a^{-7}$

3) $a^{-12}$

4) $a^7$

Чтобы представить выражение в виде степени с основанием $a$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{a^{-4}}{a^9 \cdot a^{-6}}$

Сначала упростим знаменатель дроби. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$a^9 \cdot a^{-6} = a^{9 + (-6)} = a^{9 - 6} = a^3$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{a^{-4}}{a^3}$

Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием. При делении из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

$\frac{a^{-4}}{a^3} = a^{-4 - 3} = a^{-7}$

Полученный результат соответствует варианту ответа 2.

Ответ: $a^{-7}$

2. Укажите значение выражения $3^{-18} \cdot (3^{-7})^{-2}$

1) $-\frac{1}{81}$

2) $81$

3) $-81$

4) $\frac{1}{81}$

Для нахождения значения выражения $3^{-18} \cdot (3^{-7})^{-2}$ воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала упростим вторую часть выражения, $(3^{-7})^{-2}$, используя правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(3^{-7})^{-2} = 3^{(-7) \cdot (-2)} = 3^{14}$

2. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$3^{-18} \cdot 3^{14}$

3. Далее воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{-18} \cdot 3^{14} = 3^{-18 + 14} = 3^{-4}$

4. Наконец, вычислим значение полученной степени. Используем правило для отрицательного показателя степени: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Таким образом, значение выражения равно $\frac{1}{81}$, что соответствует варианту ответа 4.

Ответ: $\frac{1}{81}$

3. Найдите значение выражения

$1 - \frac{9}{16} a^{-1} b^{-10} \cdot \left( \frac{1}{4} ab^{-3} \right)^{-3}$

при $a=2, b = -\frac{1}{5}$.

Для начала упростим данное выражение. Переведем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Теперь подставим их в исходное выражение:

$\frac{25}{16}a^{-1}b^{-10} \cdot \left(\frac{5}{4}ab^{-3}\right)^{-3}$

Раскроем скобки, применив свойство степени $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:

$\left(\frac{5}{4}ab^{-3}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-3} \cdot a^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} = \left(\frac{4}{5}\right)^{3} \cdot a^{-3} \cdot b^{(-3) \cdot (-3)} = \frac{4^3}{5^3}a^{-3}b^9 = \frac{64}{125}a^{-3}b^9$

Теперь умножим полученное выражение на первую часть исходного выражения:

$\frac{25}{16}a^{-1}b^{-10} \cdot \frac{64}{125}a^{-3}b^9$

Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$\left(\frac{25}{16} \cdot \frac{64}{125}\right) \cdot (a^{-1} \cdot a^{-3}) \cdot (b^{-10} \cdot b^9)$

Упростим каждую группу, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$\frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$

$a^{-1} \cdot a^{-3} = a^{-1-3} = a^{-4}$

$b^{-10} \cdot b^9 = b^{-10+9} = b^{-1}$

Таким образом, упрощенное выражение выглядит так:

$\frac{4}{5}a^{-4}b^{-1} = \frac{4}{5a^4b}$

Теперь подставим в него заданные значения $a = 2$ и $b = -\frac{1}{5}$:

$\frac{4}{5 \cdot (2)^4 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{4}{5 \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{5})}$

Сократим 5 и $-\frac{1}{5}$ в знаменателе:

$\frac{4}{16 \cdot (5 \cdot (-\frac{1}{5}))} = \frac{4}{16 \cdot (-1)} = \frac{4}{-16} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

4. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $(3,8 \cdot 10^{-6}) \cdot (6,5 \cdot 10^{10});$

2) $\frac{10,8 \cdot 10^{-12}}{36 \cdot 10^{-7}}$

1) Чтобы выполнить вычисление, сгруппируем отдельно числовые множители и степени десяти, а затем применим свойства степеней.

$(3,8 \cdot 10^{-6}) \cdot (6,5 \cdot 10^{10}) = (3,8 \cdot 6,5) \cdot (10^{-6} \cdot 10^{10})$

Вычислим произведение числовых множителей:

$3,8 \cdot 6,5 = 24,7$

Вычислим произведение степеней с основанием 10, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-6} \cdot 10^{10} = 10^{-6+10} = 10^4$

Объединим результаты:

$24,7 \cdot 10^4$

Теперь запишем результат в стандартном виде. Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число 24,7 больше 10, поэтому представим его в стандартном виде:

$24,7 = 2,47 \cdot 10^1$

Подставим это в наше выражение:

$(2,47 \cdot 10^1) \cdot 10^4 = 2,47 \cdot 10^{1+4} = 2,47 \cdot 10^5$

Ответ: $2,47 \cdot 10^5$

2) Чтобы выполнить вычисление, разделим отдельно числовые множители и степени десяти, а затем применим свойства степеней.

$\frac{10,8 \cdot 10^{-12}}{36 \cdot 10^{-7}} = \frac{10,8}{36} \cdot \frac{10^{-12}}{10^{-7}}$

Вычислим частное числовых множителей:

$\frac{10,8}{36} = 0,3$

Вычислим частное степеней с основанием 10, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-12}}{10^{-7}} = 10^{-12 - (-7)} = 10^{-12+7} = 10^{-5}$

Объединим результаты:

$0,3 \cdot 10^{-5}$

Теперь запишем результат в стандартном виде. Число 0,3 меньше 1, поэтому представим его в стандартном виде:

$0,3 = 3 \cdot 10^{-1}$

Подставим это в наше выражение:

$(3 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-5} = 3 \cdot 10^{-1+(-5)} = 3 \cdot 10^{-6}$

Ответ: $3 \cdot 10^{-6}$

5. Найдите значение выражения $ \frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9} $.

Для нахождения значения выражения преобразуем его, используя свойства степеней. Сначала разложим основания 15 и 45 на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9} = \frac{(3 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2 \cdot 5)^{-3} \cdot 3^9}$

Применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$, чтобы раскрыть скобки:

$\frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{ (3^2)^{-3} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9} = \frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{3^{-6} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9}$

Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

В числителе: $5^4 \cdot 5^{-6} = 5^{4+(-6)} = 5^{-2}$

В знаменателе: $3^{-6} \cdot 3^9 = 3^{-6+9} = 3^3$

Подставим полученные результаты обратно в дробь:

$\frac{3^4 \cdot 5^{-2}}{3^3 \cdot 5^{-3}}$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^4}{3^3} \cdot \frac{5^{-2}}{5^{-3}} = 3^{4-3} \cdot 5^{-2-(-3)} = 3^1 \cdot 5^{-2+3} = 3^1 \cdot 5^1$

Вычислим итоговое значение:

$3 \cdot 5 = 15$

Ответ: 15

6. Упростите выражение

$\left( \frac{2a^{-1} - 3}{a^{-2} - 4a^{-1} + 4} - \frac{a^{-1} - 1}{a^{-2} - 2a^{-1}} \right) \cdot \frac{a^{-3} - 4a^{-1}}{a^{-2} - 2}$

и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Исходное выражение: $$ \left( \frac{2a^{-1} - 3}{a^{-2} - 4a^{-1} + 4} - \frac{a^{-1} - 1}{a^{-2} - 2a^{-1}} \right) \cdot \frac{a^{-3} - 4a^{-1}}{a^{-2} - 2} $$

Для упрощения введем замену: пусть $x = a^{-1}$. Тогда $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $x^3 = (a^{-1})^3 = a^{-3}$. Подставим $x$ в исходное выражение: $$ \left( \frac{2x - 3}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x - 1}{x^2 - 2x} \right) \cdot \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 2} $$

Теперь упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ (формула квадрата разности).
$x^2 - 2x = x(x-2)$.
Общий знаменатель будет $x(x-2)^2$.

Выполним вычитание дробей в скобках: $$ \frac{2x - 3}{(x - 2)^2} - \frac{x - 1}{x(x - 2)} = \frac{x(2x - 3) - (x - 1)(x - 2)}{x(x-2)^2} = \frac{(2x^2 - 3x) - (x^2 - 2x - x + 2)}{x(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 3x - (x^2 - 3x + 2)}{x(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 3x - x^2 + 3x - 2}{x(x-2)^2} = \frac{x^2 - 2}{x(x-2)^2} $$

Теперь упростим второй множитель: $$ \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 2} = \frac{x(x^2 - 4)}{x^2 - 2} = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x^2 - 2} $$

Перемножим полученные упрощенные выражения: $$ \frac{x^2 - 2}{x(x-2)^2} \cdot \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x^2 - 2} $$ Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x^2 - 2)$, $x$ и $(x-2)$. $$ \frac{\cancel{x^2 - 2}}{\cancel{x}(\cancel{x-2})(x-2)} \cdot \frac{\cancel{x}(\cancel{x - 2})(x + 2)}{\cancel{x^2 - 2}} = \frac{x+2}{x-2} $$

Теперь выполним обратную замену, подставив $a^{-1}$ вместо $x$: $$ \frac{a^{-1} + 2}{a^{-1} - 2} $$

Чтобы избавиться от отрицательных степеней, представим $a^{-1}$ как $\frac{1}{a}$ и умножим числитель и знаменатель дроби на $a$: $$ \frac{\frac{1}{a} + 2}{\frac{1}{a} - 2} = \frac{a \cdot (\frac{1}{a} + 2)}{a \cdot (\frac{1}{a} - 2)} = \frac{a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 2}{a \cdot \frac{1}{a} - a \cdot 2} = \frac{1 + 2a}{1 - 2a} $$

Ответ: $ \frac{1 + 2a}{1 - 2a} $