Номер 6, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Упростите выражение

$\left( \frac{2a^{-1} - 3}{a^{-2} - 4a^{-1} + 4} - \frac{a^{-1} - 1}{a^{-2} - 2a^{-1}} \right) \cdot \frac{a^{-3} - 4a^{-1}}{a^{-2} - 2}$

и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Исходное выражение: $$ \left( \frac{2a^{-1} - 3}{a^{-2} - 4a^{-1} + 4} - \frac{a^{-1} - 1}{a^{-2} - 2a^{-1}} \right) \cdot \frac{a^{-3} - 4a^{-1}}{a^{-2} - 2} $$

Для упрощения введем замену: пусть $x = a^{-1}$. Тогда $x^2 = (a^{-1})^2 = a^{-2}$ и $x^3 = (a^{-1})^3 = a^{-3}$. Подставим $x$ в исходное выражение: $$ \left( \frac{2x - 3}{x^2 - 4x + 4} - \frac{x - 1}{x^2 - 2x} \right) \cdot \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 2} $$

Теперь упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ (формула квадрата разности).
$x^2 - 2x = x(x-2)$.
Общий знаменатель будет $x(x-2)^2$.

Выполним вычитание дробей в скобках: $$ \frac{2x - 3}{(x - 2)^2} - \frac{x - 1}{x(x - 2)} = \frac{x(2x - 3) - (x - 1)(x - 2)}{x(x-2)^2} = \frac{(2x^2 - 3x) - (x^2 - 2x - x + 2)}{x(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 3x - (x^2 - 3x + 2)}{x(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 3x - x^2 + 3x - 2}{x(x-2)^2} = \frac{x^2 - 2}{x(x-2)^2} $$

Теперь упростим второй множитель: $$ \frac{x^3 - 4x}{x^2 - 2} = \frac{x(x^2 - 4)}{x^2 - 2} = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x^2 - 2} $$

Перемножим полученные упрощенные выражения: $$ \frac{x^2 - 2}{x(x-2)^2} \cdot \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x^2 - 2} $$ Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x^2 - 2)$, $x$ и $(x-2)$. $$ \frac{\cancel{x^2 - 2}}{\cancel{x}(\cancel{x-2})(x-2)} \cdot \frac{\cancel{x}(\cancel{x - 2})(x + 2)}{\cancel{x^2 - 2}} = \frac{x+2}{x-2} $$

Теперь выполним обратную замену, подставив $a^{-1}$ вместо $x$: $$ \frac{a^{-1} + 2}{a^{-1} - 2} $$

Чтобы избавиться от отрицательных степеней, представим $a^{-1}$ как $\frac{1}{a}$ и умножим числитель и знаменатель дроби на $a$: $$ \frac{\frac{1}{a} + 2}{\frac{1}{a} - 2} = \frac{a \cdot (\frac{1}{a} + 2)}{a \cdot (\frac{1}{a} - 2)} = \frac{a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 2}{a \cdot \frac{1}{a} - a \cdot 2} = \frac{1 + 2a}{1 - 2a} $$

Ответ: $ \frac{1 + 2a}{1 - 2a} $