Номер 6, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Упростите выражение

$\left(\frac{2a^{-1} + 1}{a^{-2} + 6a^{-1} + 9} - \frac{a^{-1} - 2}{a^{-2} + 3a^{-1}}\right) \cdot \frac{a^{-3} - 9a^{-1}}{a^{-2} + 6}$

и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для удобства введем замену переменной. Пусть $x = a^{-1}$. Тогда $a^{-2} = (a^{-1})^2 = x^2$ и $a^{-3} = (a^{-1})^3 = x^3$.

Перепишем исходное выражение с новой переменной:

$\left( \frac{2x + 1}{x^2 + 6x + 9} - \frac{x - 2}{x^2 + 3x} \right) \cdot \frac{x^3 - 9x}{x^2 + 6}$

Теперь упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 + 3x = x(x+3)$.

Общий знаменатель: $x(x+3)^2$.

$\frac{2x + 1}{(x+3)^2} - \frac{x - 2}{x(x+3)} = \frac{x(2x + 1)}{x(x+3)^2} - \frac{(x - 2)(x+3)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - (x^2 + 3x - 2x - 6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - (x^2 + x - 6)}{x(x+3)^2} = \frac{2x^2 + x - x^2 - x + 6}{x(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2}$

2. Упростим второй множитель, разложив числитель на множители:

$\frac{x^3 - 9x}{x^2 + 6} = \frac{x(x^2 - 9)}{x^2 + 6} = \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2 + 6}$

3. Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{x^2 + 6}{x(x+3)^2} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{x^2 + 6}$

Сократим общие множители $x$, $(x+3)$ и $(x^2+6)$:

$\frac{\cancel{x^2 + 6}}{\cancel{x}(x+3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-3)\cancel{(x+3)}}{\cancel{x^2 + 6}} = \frac{x-3}{x+3}$

4. Выполним обратную замену $x = a^{-1}$:

$\frac{a^{-1} - 3}{a^{-1} + 3}$

5. Преобразуем полученное выражение в рациональное, не содержащее степени с отрицательным показателем. Для этого заменим $a^{-1}$ на $\frac{1}{a}$ и умножим числитель и знаменатель на $a$:

$\frac{\frac{1}{a} - 3}{\frac{1}{a} + 3} = \frac{a \cdot (\frac{1}{a} - 3)}{a \cdot (\frac{1}{a} + 3)} = \frac{a \cdot \frac{1}{a} - a \cdot 3}{a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot 3} = \frac{1 - 3a}{1 + 3a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 3a}$