Номер 5, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите значение выражения $ \frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8} $.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо последовательно его упростить, используя свойства степеней.

Исходное выражение:
$\frac{21^5 \cdot 3^{-7}}{63^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 1: Разложим основания 21 и 63 на простые множители. Это позволит нам работать со степенями с одинаковыми основаниями.
$21 = 3 \cdot 7$
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$

Шаг 2: Подставим полученные разложения в исходное выражение.
$\frac{(3 \cdot 7)^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 3: Раскроем скобки, используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{(3^2)^{-2} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8} = \frac{3^5 \cdot 7^5 \cdot 3^{-7}}{3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$

Шаг 4: Упростим числитель и знаменатель, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями и применив свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Числитель: $3^5 \cdot 3^{-7} \cdot 7^5 = 3^{5+(-7)} \cdot 7^5 = 3^{-2} \cdot 7^5$
Знаменатель: $3^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8 = 3^{-4} \cdot 7^{-2+8} = 3^{-4} \cdot 7^6$

Шаг 5: Запишем выражение с упрощенными числителем и знаменателем.
$\frac{3^{-2} \cdot 7^5}{3^{-4} \cdot 7^6}$

Шаг 6: Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания.
$3^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 3^{-2+4} \cdot 7^{-1} = 3^2 \cdot 7^{-1}$

Шаг 7: Вычислим финальное значение. Вспомним, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$3^2 \cdot 7^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{7} = \frac{9}{7}$

Ответ: $\frac{9}{7}$