Номер 6, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Упростите выражение $\frac{16a^{-2} + b^{-2}}{16a^{-1}b^{-1} - 4b^{-2}} - \frac{2a^{-1}}{4a^{-1} - b^{-1}}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для начала преобразуем выражение, избавившись от отрицательных степеней, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $ \frac{16a^{-2} + b^{-2}}{16a^{-1}b^{-1} - 4b^{-2}} - \frac{2a^{-1}}{4a^{-1} - b^{-1}} $

После преобразования степеней получаем:$ \frac{\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}} - \frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{a} - \frac{1}{b}} $

Теперь упростим каждую из двух дробей по отдельности.

1. Упростим первую дробь:$ \frac{\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}}{\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}} $

Чтобы избавиться от "многоэтажности", домножим числитель и знаменатель этой дроби на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на $a^2b^2$:$ \frac{(\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2}) \cdot a^2b^2}{(\frac{16}{ab} - \frac{4}{b^2}) \cdot a^2b^2} = \frac{\frac{16a^2b^2}{a^2} + \frac{a^2b^2}{b^2}}{\frac{16a^2b^2}{ab} - \frac{4a^2b^2}{b^2}} = \frac{16b^2 + a^2}{16ab - 4a^2} $

Разложим знаменатель на множители:$ 16ab - 4a^2 = 4a(4b - a) $

Таким образом, первая дробь равна:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} $

2. Упростим вторую дробь:$ \frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{a} - \frac{1}{b}} $

Домножим числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на $ab$:$ \frac{\frac{2}{a} \cdot ab}{(\frac{4}{a} - \frac{1}{b}) \cdot ab} = \frac{\frac{2ab}{a}}{\frac{4ab}{a} - \frac{ab}{b}} = \frac{2b}{4b - a} $

3. Выполним вычитание:

Теперь подставим упрощенные дроби в исходное выражение:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} - \frac{2b}{4b - a} $

Приведем дроби к общему знаменателю $4a(4b - a)$:$ \frac{a^2 + 16b^2}{4a(4b - a)} - \frac{2b \cdot 4a}{(4b - a) \cdot 4a} = \frac{a^2 + 16b^2 - 8ab}{4a(4b - a)} $

В числителе мы видим формулу квадрата разности: $a^2 - 8ab + 16b^2 = (a - 4b)^2$.

Подставим это в дробь:$ \frac{(a - 4b)^2}{4a(4b - a)} $

Заметим, что $(a - 4b)^2 = (-(4b - a))^2 = (4b - a)^2$.

Поэтому выражение можно переписать так:$ \frac{(4b - a)^2}{4a(4b - a)} $

Сократим общий множитель $(4b - a)$:$ \frac{4b - a}{4a} $

Ответ: $ \frac{4b-a}{4a} $