Номер 6, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Упростите выражение $\frac{a^{-2} + 9b^{-2}}{3a^{-2} + 9a^{-1}b^{-1}} + \frac{2b^{-1}}{a^{-1} + 3b^{-1}}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения выражения введем замену: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^2 = a^{-2}$ и $y^2 = b^{-2}$.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-2} + 9b^{-2}}{3a^{-2} + 9a^{-1}b^{-1}} + \frac{2b^{-1}}{a^{-1} + 3b^{-1}} $$

После замены оно примет вид:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x^2 + 9xy} + \frac{2y}{x + 3y} $$

Рассмотрим первую дробь. В знаменателе можно вынести общий множитель $3x$ за скобки:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x(x + 3y)} + \frac{2y}{x + 3y} $$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $3x(x + 3y)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $3x$:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x(x + 3y)} + \frac{2y \cdot 3x}{(x + 3y) \cdot 3x} = \frac{x^2 + 9y^2 + 6xy}{3x(x + 3y)} $$

Расположим слагаемые в числителе в привычном порядке и заметим, что это формула квадрата суммы:

$$ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 $$

Подставим это выражение обратно в дробь:

$$ \frac{(x + 3y)^2}{3x(x + 3y)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 3y)$:

$$ \frac{x + 3y}{3x} $$

Теперь выполним обратную замену: $x = a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $y = b^{-1} = \frac{1}{b}$.

$$ \frac{\frac{1}{a} + 3 \cdot \frac{1}{b}}{3 \cdot \frac{1}{a}} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{3}{b}}{\frac{3}{a}} $$

Упростим полученную "многоэтажную" дробь. Сначала сложим дроби в числителе:

$$ \frac{\frac{b + 3a}{ab}}{\frac{3}{a}} $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{b + 3a}{ab} \cdot \frac{a}{3} = \frac{(b + 3a)a}{3ab} $$

Сократим на $a$:

$$ \frac{b + 3a}{3b} $$

Ответ: $ \frac{b + 3a}{3b} $.