Страница 45 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Представьте выражение $\frac{a^{-14} \cdot a^2}{a^{-6}}$ в виде степени с основанием a.

1) $a^{-10}$ 2) $a^{10}$ 3) $a^{-6}$ 4) $a^6$

Для того чтобы представить выражение в виде степени с основанием $a$, необходимо применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-14} \cdot a^2}{a^{-6}} $$

Шаг 1: Упрощение числителя

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ a^{-14} \cdot a^2 = a^{-14 + 2} = a^{-12} $$

После этого шага выражение принимает вид:

$$ \frac{a^{-12}}{a^{-6}} $$

Шаг 2: Упрощение дроби

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя. Используем правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{a^{-12}}{a^{-6}} = a^{-12 - (-6)} = a^{-12 + 6} = a^{-6} $$

Полученный результат $a^{-6}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $a^{-6}$

2. Укажите значение выражения $6^{-18} \cdot (6^{-8})^{-2}$.

1) 36 2) -36 3) $\frac{1}{36}$ 4) $-\frac{1}{36}$

Для того чтобы найти значение выражения $6^{-18} \cdot (6^{-8})^{-2}$, необходимо последовательно применить свойства степеней.

Сначала упростим множитель $(6^{-8})^{-2}$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень, которое гласит $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В нашем случае $a=6$, $m=-8$ и $n=-2$.
$(6^{-8})^{-2} = 6^{(-8) \cdot (-2)} = 6^{16}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Выражение примет вид:
$6^{-18} \cdot 6^{16}$.

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Сложим показатели степеней:
$6^{-18 + 16} = 6^{-2}$.

На последнем шаге используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$.

Таким образом, значение исходного выражения равно $\frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

3. Найдите значение выражения $\frac{1}{7}m^{-2}n^{-4} \cdot 35mn^5$ при $m=\frac{1}{12}, n=\frac{1}{6}$.

Для начала упростим данное выражение. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя свойство степеней $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

$\frac{1}{7}m^{-2}n^{-4} \cdot 35mn^5 = (\frac{1}{7} \cdot 35) \cdot (m^{-2} \cdot m^1) \cdot (n^{-4} \cdot n^5)$

Вычислим произведение в каждой группе:

1. Числовые коэффициенты: $\frac{1}{7} \cdot 35 = \frac{35}{7} = 5$.

2. Степени с основанием $m$: $m^{-2} \cdot m^1 = m^{-2+1} = m^{-1}$.

3. Степени с основанием $n$: $n^{-4} \cdot n^5 = n^{-4+5} = n^1 = n$.

Таким образом, исходное выражение равно $5m^{-1}n$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$, преобразуем выражение:

$5m^{-1}n = 5 \cdot \frac{1}{m} \cdot n = \frac{5n}{m}$.

Теперь подставим в полученное упрощенное выражение значения переменных $m = \frac{1}{12}$ и $n = \frac{1}{6}$.

$\frac{5n}{m} = \frac{5 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{12}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{5 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{12}} = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{1} = 5 \cdot \frac{12}{6} = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: 10

4. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $(4.6 \cdot 10^{-4}) \cdot (2.5 \cdot 10^{7})$;

2) $\frac{4.8 \cdot 10^{-6}}{12 \cdot 10^{-4}}$.

1) $(4,6 \cdot 10^{-4}) \cdot (2,5 \cdot 10^{7})$

Чтобы выполнить умножение чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно — степени десяти. После этого, если потребуется, привести результат к стандартному виду.

Сгруппируем множители следующим образом:

$(4,6 \cdot 2,5) \cdot (10^{-4} \cdot 10^{7})$

1. Вычислим произведение мантисс:

$4,6 \cdot 2,5 = 11,5$

2. Вычислим произведение степеней, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-4} \cdot 10^{7} = 10^{-4+7} = 10^{3}$

3. Объединим полученные результаты:

$11,5 \cdot 10^{3}$

4. Результат необходимо представить в стандартном виде, где мантисса $a$ должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. В нашем случае мантисса равна 11,5, что больше 10. Преобразуем число 11,5 в стандартный вид:

$11,5 = 1,15 \cdot 10^{1}$

5. Подставим это значение обратно в наше выражение:

$(1,15 \cdot 10^{1}) \cdot 10^{3} = 1,15 \cdot 10^{1+3} = 1,15 \cdot 10^{4}$

Ответ: $1,15 \cdot 10^{4}$

2) $\frac{4,8 \cdot 10^{-6}}{12 \cdot 10^{-4}}$

Чтобы выполнить деление чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно разделить их мантиссы и отдельно — степени десяти. После этого, если потребуется, привести результат к стандартному виду.

Представим дробь как произведение двух дробей:

$\frac{4,8}{12} \cdot \frac{10^{-6}}{10^{-4}}$

1. Вычислим частное мантисс:

$\frac{4,8}{12} = 0,4$

2. Вычислим частное степеней, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-6}}{10^{-4}} = 10^{-6 - (-4)} = 10^{-6+4} = 10^{-2}$

3. Объединим полученные результаты:

$0,4 \cdot 10^{-2}$

4. Результат необходимо представить в стандартном виде, где мантисса $a$ должна удовлетворять условию $1 \le a < 10$. В нашем случае мантисса равна 0,4, что меньше 1. Преобразуем число 0,4 в стандартный вид:

$0,4 = 4 \cdot 10^{-1}$

5. Подставим это значение обратно в наше выражение:

$(4 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-2} = 4 \cdot 10^{-1+(-2)} = 4 \cdot 10^{-3}$

Ответ: $4 \cdot 10^{-3}$

5. Найдите значение выражения $ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} $.

Чтобы найти значение выражения, мы будем использовать свойства степеней. Исходное выражение:

$$ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} $$

Для начала преобразуем выражение, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Это свойство означает, что мы можем переместить множитель из числителя в знаменатель (и наоборот), изменив знак его показателя степени на противоположный.

$$ \frac{10^{-2} \cdot 15^{-4}}{30^{-6}} = \frac{30^6}{10^2 \cdot 15^4} $$

Теперь разложим основания степеней (30, 10 и 15) на простые множители, чтобы упростить выражение:

• $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $15 = 3 \cdot 5$

Подставим эти разложения в наше выражение:

$$ \frac{(2 \cdot 3 \cdot 5)^6}{(2 \cdot 5)^2 \cdot (3 \cdot 5)^4} $$

Далее применим свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ к числителю и знаменателю:

$$ \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{ (2^2 \cdot 5^2) \cdot (3^4 \cdot 5^4) } $$

В знаменателе сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$$ \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^{2+4}} = \frac{2^6 \cdot 3^6 \cdot 5^6}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^6} $$

Теперь применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания (2, 3 и 5):

$$ 2^{6-2} \cdot 3^{6-4} \cdot 5^{6-6} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^0 $$

Наконец, вычислим полученное выражение, помня, что любое число в нулевой степени равно единице ($a^0=1$):

$$ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 1 = 16 \cdot 9 = 144 $$

Ответ: 144

6. Упростите выражение $\frac{a^{-2} + 9b^{-2}}{3a^{-2} + 9a^{-1}b^{-1}} + \frac{2b^{-1}}{a^{-1} + 3b^{-1}}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения выражения введем замену: пусть $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$. Тогда $x^2 = a^{-2}$ и $y^2 = b^{-2}$.

Исходное выражение:

$$ \frac{a^{-2} + 9b^{-2}}{3a^{-2} + 9a^{-1}b^{-1}} + \frac{2b^{-1}}{a^{-1} + 3b^{-1}} $$

После замены оно примет вид:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x^2 + 9xy} + \frac{2y}{x + 3y} $$

Рассмотрим первую дробь. В знаменателе можно вынести общий множитель $3x$ за скобки:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x(x + 3y)} + \frac{2y}{x + 3y} $$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $3x(x + 3y)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $3x$:

$$ \frac{x^2 + 9y^2}{3x(x + 3y)} + \frac{2y \cdot 3x}{(x + 3y) \cdot 3x} = \frac{x^2 + 9y^2 + 6xy}{3x(x + 3y)} $$

Расположим слагаемые в числителе в привычном порядке и заметим, что это формула квадрата суммы:

$$ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 $$

Подставим это выражение обратно в дробь:

$$ \frac{(x + 3y)^2}{3x(x + 3y)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x + 3y)$:

$$ \frac{x + 3y}{3x} $$

Теперь выполним обратную замену: $x = a^{-1} = \frac{1}{a}$ и $y = b^{-1} = \frac{1}{b}$.

$$ \frac{\frac{1}{a} + 3 \cdot \frac{1}{b}}{3 \cdot \frac{1}{a}} = \frac{\frac{1}{a} + \frac{3}{b}}{\frac{3}{a}} $$

Упростим полученную "многоэтажную" дробь. Сначала сложим дроби в числителе:

$$ \frac{\frac{b + 3a}{ab}}{\frac{3}{a}} $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{b + 3a}{ab} \cdot \frac{a}{3} = \frac{(b + 3a)a}{3ab} $$

Сократим на $a$:

$$ \frac{b + 3a}{3b} $$

Ответ: $ \frac{b + 3a}{3b} $.