Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равно значение выражения $(\frac{1}{9})^{-2}$?

1) $-81$2) $-\frac{1}{81}$3) $\frac{1}{81}$4) $81$

Для того чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{9})^{-2}$, необходимо использовать свойство степени с отрицательным показателем.

Общее правило для дробей гласит: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Это означает, что для возведения дроби в отрицательную степень нужно "перевернуть" дробь (заменить её на обратную) и возвести в ту же степень, но с положительным знаком.

Применим это правило к нашему выражению:

$(\frac{1}{9})^{-2} = (\frac{9}{1})^2$

Так как $\frac{9}{1}$ равно 9, выражение упрощается до:

$9^2$

Теперь вычислим квадрат числа 9:

$9^2 = 9 \times 9 = 81$

Таким образом, значение исходного выражения равно 81.

Ответ: 81

2. Каков порядок числа 38 000?

1) $3$

2) $4$

3) $-3$

4) $-4$

Порядок числа — это показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа.

Стандартная запись числа имеет вид $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число, которое и является порядком числа.

Чтобы представить число 38 000 в стандартном виде, необходимо перенести запятую (которая по умолчанию стоит в конце числа: 38 000,) влево так, чтобы перед ней осталась только одна ненулевая цифра. В данном случае, мы переносим запятую на 4 знака влево, чтобы получить число 3,8.

Так как мы сдвинули запятую на 4 знака влево, это эквивалентно делению числа на $10^4$. Чтобы сохранить исходное значение, мы должны умножить полученное число на $10^4$.

Таким образом, получаем:

$38\;000 = 3,8 \times 10^4$

В этой записи число $a=3,8$ удовлетворяет условию $1 \le 3,8 < 10$, а показатель степени $n=4$.

Следовательно, порядок числа 38 000 равен 4. Этот вариант ответа находится под номером 2).

Ответ: 4

3. Найдите значение выражения $({-2})^{-3} + 0,4^{-1} + 1,6^{0}$.

Для нахождения значения данного выражения необходимо вычислить значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Вычисление $(-2)^{-3}$

Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$.

Применяя это свойство, получаем:

$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)} = \frac{1}{-8} = -0,125$.

Вычисление $0,4^{-1}$

Используя то же свойство степени ($a^{-1} = \frac{1}{a}$), находим:

$0,4^{-1} = \frac{1}{0,4}$.

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$\frac{1}{0,4} = \frac{1 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{10}{4} = 2,5$.

Вычисление $1,6^{0}$

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.

Следовательно, $1,6^{0} = 1$.

Сложение результатов

Теперь сложим все полученные значения:

$(-2)^{-3} + 0,4^{-1} + 1,6^{0} = -0,125 + 2,5 + 1$.

Сначала сложим положительные числа: $2,5 + 1 = 3,5$.

Затем выполним вычитание: $3,5 - 0,125 = 3,375$.

Ответ: 3,375.

4. Запишите в стандартном виде число:

1) $21 400$;

2) $0,000092$.

1) Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Для числа 21 400, чтобы получить коэффициент $a$, удовлетворяющий условию $1 \le a < 10$, необходимо поставить запятую после первой значащей цифры, то есть после цифры 2. Получим $a = 2,14$.
Чтобы число 2,14 стало равно 21 400, его нужно умножить на $10^4$, так как запятая была перенесена на 4 знака влево ($21 400 = 2,14 \cdot 10000 = 2,14 \cdot 10^4$).
Таким образом, стандартный вид числа 21 400 — это $2,14 \cdot 10^4$.
Ответ: $2,14 \cdot 10^4$

2) Для числа 0,000092 найдем коэффициент $a$ по тому же правилу: $1 \le a < 10$. Поставим запятую после первой значащей цифры, то есть после 9. Получим $a = 9,2$.
Чтобы число 9,2 стало равно 0,000092, его нужно умножить на $10^{-5}$, так как запятая была перенесена на 5 знаков вправо ($0,000092 = 9,2 \cdot 0,00001 = 9,2 \cdot 10^{-5}$).
Следовательно, стандартный вид числа 0,000092 — это $9,2 \cdot 10^{-5}$.
Ответ: $9,2 \cdot 10^{-5}$

5. Сравните значения выражений $0.3^5$ и $0.3^{-5}$.

Для того чтобы сравнить значения выражений $0.3^5$ и $0.3^{-5}$, проанализируем их, исходя из свойств степеней.

Основание степени в обоих выражениях равно $0,3$. Это число является положительным и меньшим единицы, то есть $0 < 0,3 < 1$.

Рассмотрим первое выражение $0.3^5$. При возведении положительного числа, меньшего 1, в положительную степень (больше 1), результат всегда будет меньше исходного числа и, соответственно, также меньше 1. Таким образом, $0 < 0.3^5 < 1$.

Теперь рассмотрим второе выражение $0.3^{-5}$. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем, которое гласит, что $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применив это правило, получаем:

$0.3^{-5} = \frac{1}{0.3^5}$

Мы уже выяснили, что $0.3^5$ — это положительное число, меньшее 1. Деление единицы на положительное число, меньшее единицы, всегда дает результат, который больше 1. Следовательно, $0.3^{-5} > 1$.

Таким образом, мы сравниваем число $0.3^5$ (которое меньше 1) и число $0.3^{-5}$ (которое больше 1). Очевидно, что любое число, меньшее 1, будет меньше любого числа, которое больше 1.

К этому же выводу можно прийти, рассмотрев свойства степенной функции $y = a^x$. Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента (показателя степени) соответствует меньшее значение функции. Сравнивая показатели $5$ и $-5$, видим, что $5 > -5$. Так как функция убывающая, то $0.3^5 < 0.3^{-5}$.

Ответ: $0.3^5 < 0.3^{-5}$

6. Представьте в виде дроби выражение

$(a - b^{-1}) \cdot (a^{-1} - b)^{-1}$

Для того чтобы представить выражение в виде дроби, выполним следующие преобразования по шагам.

1. Используем свойство степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.

Исходное выражение: $(a - b^{-1}) \cdot (a^{-1} - b)^{-1}$.

Преобразуем второй множитель:

$(a^{-1} - b)^{-1} = \frac{1}{a^{-1} - b}$

Теперь все выражение можно записать в виде одной дроби:

$\frac{a - b^{-1}}{a^{-1} - b}$

2. Заменим оставшиеся степени с отрицательным показателем на дроби в числителе и знаменателе:

$\frac{a - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - b}$

3. Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби.

Преобразуем числитель:

$a - \frac{1}{b} = \frac{a \cdot b}{b} - \frac{1}{b} = \frac{ab - 1}{b}$

Преобразуем знаменатель:

$\frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} - \frac{b \cdot a}{a} = \frac{1 - ab}{a}$

4. Подставим полученные дроби обратно в исходное выражение:

$\frac{\frac{ab - 1}{b}}{\frac{1 - ab}{a}}$

5. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую:

$\frac{ab - 1}{b} \cdot \frac{a}{1 - ab}$

6. Заметим, что $(ab - 1) = -(1 - ab)$. Вынесем знак минус в числителе первой дроби:

$\frac{-(1 - ab)}{b} \cdot \frac{a}{1 - ab}$

7. Сократим одинаковые множители $(1 - ab)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-a}{b} = -\frac{a}{b}$

Ответ: $-\frac{a}{b}$