Страница 39 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Среди данных пар уравнений укажите пару неравносильных уравнений.

1) $|x| = 1$ и $x^2 = 1$

2) $3x - 1,2 = 0$ и $x + 0,6 = 1$

3) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Если множества решений различны, то уравнения называются неравносильными. Проанализируем каждую пару уравнений, чтобы найти неравносильную.

1) $|x| = 1$ и $x^2 = 1$

Решим первое уравнение: $|x| = 1$. Его корнями являются $x = 1$ и $x = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 = 1$. Его корнями также являются $x = \sqrt{1} = 1$ и $x = -\sqrt{1} = -1$. Множество решений: $\{-1, 1\}$.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, эта пара уравнений является равносильной.

2) $3x - 1,2 = 0$ и $x + 0,6 = 1$

Решим первое уравнение: $3x - 1,2 = 0 \implies 3x = 1,2 \implies x = 0,4$. Множество решений: $\{0,4\}$.

Решим второе уравнение: $x + 0,6 = 1 \implies x = 1 - 0,6 \implies x = 0,4$. Множество решений: $\{0,4\}$.

Поскольку множества решений совпадают, эта пара уравнений также является равносильной.

3) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из уравнения $x^2 - 4 = 0$ находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Условие $x + 2 \neq 0$ означает, что $x \neq -2$. Исключив корень $x = -2$, получаем, что единственным решением первого уравнения является $x = 2$. Множество решений: $\{2\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 4 = 0$. Его корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Множества решений $\{2\}$ и $\{-2, 2\}$ не совпадают. Следовательно, эта пара уравнений является неравносильной.

4) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$ и $x^2 - 4 = 0$

Решим первое уравнение: $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2} = 0$. Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из уравнения $x^2 - 4 = 0$ находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Проверим условие $x^2 + 2 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 2 \ge 2$. Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль, и ограничений на $x$ нет. Таким образом, решениями первого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Решениями второго уравнения $x^2 - 4 = 0$ также являются $x = 2$ и $x = -2$. Множество решений: $\{-2, 2\}$.

Поскольку множества решений совпадают, эта пара уравнений является равносильной.

Следовательно, искомая пара неравносильных уравнений находится под номером 3.

Ответ: 3.

2. Решите уравнение $\frac{x - 20}{x^2 - 400} = 0.$

1) -20

2) 20

3) -20; 20

4) корней нет

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 20 = 0, \\ x^2 - 400 \neq 0. \end{cases}$

1. Сначала решим первое уравнение системы, приравняв числитель к нулю:
$x - 20 = 0$
$x = 20$

2. Теперь найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которых знаменатель не равен нулю:
$x^2 - 400 \neq 0$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 20^2 \neq 0$
$(x - 20)(x + 20) \neq 0$
Это неравенство выполняется, если каждый из множителей не равен нулю:
$x - 20 \neq 0 \implies x \neq 20$
$x + 20 \neq 0 \implies x \neq -20$

3. Сравним корень, полученный из числителя, с областью допустимых значений.
Корень числителя $x = 20$. Однако, согласно ОДЗ, $x$ не может быть равен 20, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x = 20$ является посторонним корнем.

Поскольку единственный возможный корень не входит в область допустимых значений, у исходного уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

3. Решите уравнение:

1) $\frac{3}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^2} = \frac{4}{x^2-9};$

2) $\frac{3y^2+63}{49-y^2} + \frac{y+7}{y-7} = \frac{2}{y+7};$

3) $\frac{x^2-6x}{x-8} = \frac{10x-x^2}{x-8}.$

1) $\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x + 3)^2} = \frac{4}{x^2 - 9}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$(x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$(x + 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

$x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq -3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

$\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x + 3)^2} = \frac{4}{(x - 3)(x + 3)}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 3)^2(x + 3)^2$:

$\frac{3(x + 3)^2 + 1(x - 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2} = \frac{4(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$

Так как $x \neq 3$ и $x \neq -3$, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$3(x + 3)^2 + (x - 3)^2 = 4(x - 3)(x + 3)$

Раскроем скобки:

$3(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 4(x^2 - 9)$

$3x^2 + 18x + 27 + x^2 - 6x + 9 = 4x^2 - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x^2 + 12x + 36 = 4x^2 - 36$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$4x^2 - 4x^2 + 12x = -36 - 36$

$12x = -72$

$x = \frac{-72}{12}$

$x = -6$

Корень $x = -6$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -6

2) $\frac{3y^2 + 63}{49 - y^2} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю:

$49 - y^2 \neq 0 \Rightarrow (7 - y)(7 + y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 7$ и $y \neq -7$.

$y - 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq 7$

$y + 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$

ОДЗ: $y \in (-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; +\infty)$.

Преобразуем знаменатели для приведения к общему виду: $49 - y^2 = (7 - y)(7 + y) = -(y - 7)(y + 7)$.

$\frac{3y^2 + 63}{-(y - 7)(y + 7)} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

$-\frac{3y^2 + 63}{(y - 7)(y + 7)} + \frac{y + 7}{y - 7} = \frac{2}{y + 7}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(y - 7)(y + 7)$:

$\frac{-(3y^2 + 63) + (y + 7)(y + 7)}{(y - 7)(y + 7)} = \frac{2(y - 7)}{(y - 7)(y + 7)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(y - 7)(y + 7)$:

$-(3y^2 + 63) + (y + 7)^2 = 2(y - 7)$

Раскроем скобки:

$-3y^2 - 63 + y^2 + 14y + 49 = 2y - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$-2y^2 + 14y - 14 = 2y - 14$

Перенесем все члены в левую часть:

$-2y^2 + 14y - 2y - 14 + 14 = 0$

$-2y^2 + 12y = 0$

Вынесем общий множитель $-2y$ за скобки:

$-2y(y - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$-2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0$

$y - 6 = 0 \Rightarrow y_2 = 6$

Оба корня $y = 0$ и $y = 6$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 6

3) $\frac{x^2 - 6x}{x - 8} = \frac{10x - x^2}{x - 8}$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 8) \cup (8; +\infty)$.

Так как знаменатели дробей в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их числители при условии, что $x \neq 8$.

$x^2 - 6x = 10x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 - 6x - 10x + x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 16x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$2x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

$x - 8 = 0 \Rightarrow x_2 = 8$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 8$).

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = 8$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=8$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 0

4. Баржа прошла против течения реки $24 \text{ км}$ и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $2 \text{ ч}$ меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость баржи в стоячей воде, если скорость течения равна $3 \text{ км/ч}$.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи (скорость в стоячей воде). По условию, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда скорость баржи по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 3)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость баржи должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное баржей на путь в 24 км против течения, равно $t_{против} = \frac{24}{x - 3}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь в 24 км по течению, равно $t_{по} = \frac{24}{x + 3}$ ч.

Из условия задачи известно, что на обратный путь было затрачено на 2 часа меньше. На основе этого составим и решим уравнение:

$t_{против} - t_{по} = 2$

$\frac{24}{x - 3} - \frac{24}{x + 3} = 2$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$:

$\frac{24(x + 3) - 24(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{24x + 72 - 24x + 72}{x^2 - 9} = 2$

$\frac{144}{x^2 - 9} = 2$

Теперь решим полученное уравнение:

$144 = 2(x^2 - 9)$

Разделим обе части на 2:

$72 = x^2 - 9$

$x^2 = 72 + 9$

$x^2 = 81$

У этого уравнения два корня: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$.

Корень $x_2 = -9$ не подходит по физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, скорость баржи в стоячей воде составляет 9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.